[論文レビュー] Characterisation of a family of neighbour transitive codes

Neil I. Gillespie, Cheryl E. Praeger|arXiv (Cornell University)|May 21, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 42被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、最小距離が3以上で、ハミンググラフの自己同型群の基本群と非自明に交わるアルファベットほとんど単純な隣接推移的符号の族を特徴づけている。このような符号は、特定の部分符号と同値であるか、もしくはその $X$-平行移動の互いに素な和集合であることが示され、その部分符号は隣接推移的周波数置換配列である。

ABSTRACT

We consider codes of length $m$ over an alphabet of size $q$ as subsets of the vertex set of the Hamming graph $Γ=H(m,q)$. A code for which there exists an automorphism group $X\leq Aut(Γ)$ that acts transitively on the code and on its set of neighbours is said to be neighbour transitive, and were introduced by the authors as a group theoretic analogue to the assumption that single errors are equally likely over a noisy channel. Examples of neighbour transitive codes include the Hamming codes, various Golay codes, certain Hadamard codes, the Nordstrom Robinson codes, certain permutation codes and frequency permutation arrays, which have connections with powerline communication, and also completely transitive codes, a subfamily of completely regular codes, which themselves have attracted a lot of interest. It is known that for any neighbour transitive code with minimum distance at least 3 there exists a subgroup of $X$ that has a $2$-transitive action on the alphabet over which the code is defined. Therefore, by Burnside's theorem, this action is of almost simple or affine type. If the action is of almost simple type, we say the code is alphabet almost simple neighbour transitive. In this paper we characterise a family of neighbour transitive codes, in particular, the alphabet almost simple neighbour transitive codes with minimum distance at least $3$, and for which the group $X$ has a non-trivial intersection with the base group of $Aut(Γ)$. If $C$ is such a code, we show that, up to equivalence, there exists a subcode $Δ$ that can be completely described, and that either $C=Δ$, or $Δ$ is a neighbour transitive frequency permutation array and $C$ is the disjoint union of $X$-translates of $Δ$. We also prove that any finite group can be identified in a natural way with a neighbour transitive code.

研究の動機と目的

• ハミンググラフの自己同型群の基本群と非自明に交わる最小距離が3以上のアルファベットほとんど単純な隣接推移的符号を特徴づけること。
• 交差群 $K = X igcap B$ の根基 $ ext{soc}(K)$ を分析することで、このような符号の構造を特定すること。
• 同値性の意味で、符号が既知の $ ext{soc}(K)$-軌道に等しいか、もしくはその $X$-平行移動の互いに素な和集合であることを示すこと。
• 構成的埋め込みを通じて有限群と隣接推移的符号との間に関係を確立すること。
• 群論的および組合せ論的道具を用いて、広範なクラスの隣接推移的符号を分類する枠組みを提供すること。

提案手法

• ハミンググラフの自己同型群に含まれる $X rianglelefteq ext{Aut}( ext{Hamming graph})$ を用い、符号語とその隣接語への作用が推移的であることで $X$-隣接推移的符号を定義する。
• バーンサイドの定理を用いて、アルファベット上の $2$-推移的作用をアフィン型またはほとんど単純型に分類し、後者に焦点を当てる。
• スコットの補題を適用して $ ext{soc}(K)$ の構造を分析し、非アーベル単純群の部分直積であることを示す（$K = X igcap B$）。
• 符号 $C$ の射影符号を構成・分析することで、$X$-不変分割構造下での可能な構成を特定する。
• 積構成および繰り返し構成を用いて例を生成し、最小距離や隣接推移性などの性質を検証する。
• $ ext{soc}(K)$ における軌道解析を用い、符号構造を同値性の意味で完全に記述する標準的部分符号 $ riangleq ext{soc}(K)$-軌道を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小距離が3以上で、基本群と非自明に交わるアルファベットほとんど単純な $X$-隣接推移的符号の構造的分類は何か？
• RQ2 交差群 $K = X igcap B$ の根基 $ ext{soc}(K)$ は、符号構造を特徴づけるためにどのように利用できるか？
• RQ3 隣接推移的符号が周波数置換配列の $X$-平行移動の互いに素な和集合であるのはどのような条件下か？
• RQ4 任意の有限群をハミンググラフ内の隣接推移的符号として自然に埋め込むことは可能か？
• RQ5 $X$-不変分割に沿ってこのような符号を射影すると、最小距離はどのように変化するか？

主な発見

• 最小距離が3でなく、$K = X igcap B \neq 1$ であるアルファベットほとんど単純な $X$-隣接推移的符号は、同値性の意味で、$ ext{soc}(K)$-軌道に等しいか、もしくはその $X$-平行移動の互いに素な和集合である。
• $ ext{soc}(K)$-軌道 $ riangleq ext{soc}(K)$-軌道 は明示的に記述されており、隣接推移的周波数置換配列である。
• 符号 $C$ が $ riangleq ext{soc}(K)$-軌道の $X$-平行移動の互いに素な和集合であることが示され、横断集合は $A_q$ における $S_q$ の陪集合代表元の集合 $ au$ によってインデックス付けされる。
• 射影符号の最小距離が2である例が構成され、元の符号の最小距離が3であるのに対し、射影により最小距離が低下することが示された。
• $ ext{soc}(K)$ が $ ext{Prod}_ u(C(A_q))$ に同型であり、これは $A_q$ の対角部分群の積であることが示され、関連する群 $G$ に対して $ ext{soc}(G)$ に等しい。
• 任意の有限群は、対称群と交代群の積に基づく構成により、隣接推移的符号として自然に埋め込むことができ、有限群とこのような符号との間に自然な対応関係が確立される。