[論文レビュー] Characterisations of crossed products by partial actions

John Quigg, Iain Raeburn|ArXiv.org|Apr 3, 1996

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、双対作用のスペクトル部分空間を用いて、離散群の部分作用による縮小クローズド積を特徴づけ、エクセルの単一部分自己同型に関する結果を一般化する。主な貢献は、自由群 $\mathbb{F}_n$ の部分作用によるクローズド積として、クンツ代数、クンツ＝クリーガー代数、およびニカのトーペリッツ代数を同定する構造的特徴づけであり、それらは二重双対における部分表現によってスペクトル部分空間間の同型を実現する。

ABSTRACT

Partial actions of discrete groups on $C^*$-algebras and the associated crossed products have been studied by Exel and McClanahan. We characterise these crossed products in terms of the spectral subspaces of the dual coaction, generalising and simplifying a theorem of Exel for single partial automorphisms. We then use this characterisation to identify the Cuntz algebras and the Toeplitz algebras of Nica as crossed products by partial actions.

研究の動機と目的

• 離散群の部分作用による縮小クローズド積を双対作用とスペクトル部分空間を用いて特徴づけること。
• エクセルによる単一部分自己同型によるクローズド積の特徴づけを、一般の離散群に拡張すること。
• クンツ代数 $\mathcal{O}_n$、クンツ＝クリーガー代数 $\mathcal{O}_A$、およびニカのトーペリッツ代数を、自由群 $\mathbb{F}_n$ の部分作用によるクローズド積として同定すること。
• $\mathcal{O}_n$ に作用する $\mathbb{F}_n$ の標準的コ作用を確立し、既知の $C^*$-代数的構造と関連付けること。

提案手法

• 双対 $B^{**}$ における普遍共変表現によって生成される $C^*$-代数として $A \times_\alpha G$ を構成し、$G$ に対する双対コ作用 $\delta$ を保証する。
• 実行可能バナッハモジュールのイムプリミティビティ双対モジュールの乗算子によって実現されるスペクトル部分空間のヒルベルトモジュール同型を用いて、$B^{**}$ 内の $G$ の部分表現 $m$ を定義する。
• コ作用 $\delta$ のスペクトル部分空間間の同型を誘導する部分表現 $m$ が存在することによって、縮小クローズド積を特徴づける。この $m$ は $m_s m_t \preceq m_{st}$ を満たす。
• 自由群 $\mathbb{F}_n$ に適用し、生成子に対応する $n$ 個の部分自己同型によって定まる部分作用を扱う。
• スペクトル部分空間 $B_s$ をウィーナー＝ホプフ代数構造を用いて同定し、$s \in PP^{-1}$ に対して $B_s = W_{\sigma(s)} \mathcal{D} W^*_{\tau(s)}$ を示す。
• 写像 $m_s = W_{\sigma(s)} W^*_{\tau(s)}$ が $s \in PP^{-1}$ に対して定義する部分表現が、必要な公理を満たし、所望の同型を誘導することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散群の部分作用による縮小クローズド積は、双対コ作用とスペクトル部分空間を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 エクセルによる単一部分自己同型によるクローズド積の特徴づけは、任意の離散群に一般化可能か？
• RQ3 クンツ代数 $\mathcal{O}_n$ およびクンツ＝クリーガー代数 $\mathcal{O}_A$ は、自由群 $\mathbb{F}_n$ の部分作用によるクローズド積として実現可能か？
• RQ4 ニカのトーペリッツ代数 $\mathcal{W}(G,P)$ は、同じ特徴づけ枠組みを用いて部分作用によるクローズド積として同定可能か？
• RQ5 $\mathcal{O}_n$ に作用する $\mathbb{F}_n$ の標準的コ作用は、この枠組みにおいて果たす役割は何か？

主な発見

• 縮小クローズド積 $A \times_{\alpha,r} G$ は、群 $G$ に対するコ作用 $\delta$ を持ち、$B^{**}$ 内の部分表現 $m$ を持つ $C^*$-代数 $B$ として特徴づけられる。このとき $m_s$ はスペクトル部分空間 $B_s$ と $B_{s^{-1}}$ 間の同型を誘導し、$m_s m_t \preceq m_{st}$ を満たす。
• 自由群 $\mathbb{F}_n$ に対して、$n$ 個の部分自己同型によって定まる乗法的部部分作用によるクローズド積は、生成子に対応するスペクトル部分空間によって特徴づけられる。
• クンツ代数 $\mathcal{O}_n$ は、$\mathbb{F}_n$ の部分作用によるクローズド積として実現され、$\mathcal{O}_n$ に作用する $\mathbb{F}_n$ の標準的コ作用が中心的な役割を果たす。
• クンツ＝クリーガー代数 $\mathcal{O}_A$ は、同じ特徴づけ枠組みを用いて $\mathbb{F}_n$ の部分作用によるクローズド積として同定される。
• 準ラティス順序群 $(G,P)$ に対するニカのトーペリッツ代数 $\mathcal{W}(G,P)$ は、対角部分代数 $\mathcal{D}$ 上の標準的部分作用 $\alpha$ による縮小クローズド積 $\mathcal{D} \times_{\alpha,r} G$ と同型である。
• ウィーナー＝ホプフ表現は、$\mathcal{W}(G,P)$ と普遍 $C^*$-代数 $C^*(G,P)$ 間の同型を誘導し、$\mathcal{W}(G,P)$ が部分作用によるクローズド積として同定されることを裏付ける。