[論文レビュー] Characterisations of Intersection Graphs by Vertex Orderings

David R. Wood|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2004

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、区間グラフ、比較可能性グラフ、補同型比較可能性グラフ、順列グラフ、スプリットグラフの構造的性質を捉える特定の頂点順序を用いた特徴付けを提示する。主な貢献は、区間グラフ、補同型比較可能性グラフ、AT-freeグラフ、スプリットグラフが最大次数の上限で帯域幅をもつことを証明し、順序に基づく特徴付けを用いてこれらのグラフクラスに対してタイトな境界を確立することにある。

ABSTRACT

Characterisations of interval graphs, comparability graphs, co-comparability graphs, permutation graphs, and split graphs in terms of linear orderings of the vertex set are presented. As an application, it is proved that interval graphs, co-comparability graphs, AT-free graphs, and split graphs have bandwidth bounded by their maximum degree.

研究の動機と目的

• 区間、比較可能性、補同型比較可能性、順列、スプリットグラフといった基本的なグラフクラスを、特定の頂点順序を用いて特徴付けること。
• これらのグラフタイプを正確に特徴付ける頂点順序の構造的条件を確立すること。
• これらの特徴付けを応用し、最大次数 Δ(G) に基づいた帯域幅の上界を導出すること。
• 区間グラフ、補同型比較可能性グラフ、AT-freeグラフ、スプリットグラフの帯域幅が最大次数 Δ(G) で上界づけられることを示すこと。
• スプリットグラフの帯域幅に対するタイトな漸近的境界を提供し、最悪ケースで Ω(Δ²) に達する可能性があることを示すこと。

提案手法

• 区間グラフのための頂点順序条件を提案：v_i v_k ∈ E かつ i < j < k ならば、v_i v_j ∈ E が成り立つこと。
• 比較可能性グラフのための条件を導入：v_i v_j および v_j v_k が辺であり、i < j < k ならば、v_i v_k も辺でなければならないこと。
• 補同型比較可能性グラフのための条件を定義：v_i v_k ∈ E かつ i < j < k ならば、v_i v_j ∈ E または v_j v_k ∈ E が成り立つこと。
• 帯域幅を、すべての頂点順序における最小幅として定義し、幅とは任意の辺 v_i v_j に対して |i - j| の最大値を指すこと。
• 頂点順序による特徴付けを用いて、最大次数 Δ(G) に基づいた帯域幅の上界を導出し、特に区間グラフおよび補同型比較可能性グラフに対して帯域幅 ≤ Δ(G) を証明すること。
• 極値的構成を用いて、スプリットグラフの帯域幅が Ω(Δ²/12) に達することを示し、上界のタイトさを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区間グラフは、v_i v_k ∈ E かつ i < j < k ならば v_i v_j ∈ E が成り立つような頂点順序によって特徴付けられるか？
• RQ2 補同型比較可能性グラフは、任意の i < j < k に対して、v_i v_k ∈ E ならば v_i v_j ∈ E または v_j v_k ∈ E が成り立つような頂点順序を有するか？
• RQ3 すべての区間グラフの帯域幅は最大次数 Δ(G) で上界づけられるか？
• RQ4 スプリットグラフの帯域幅は Δ(G) で上界づけられるか？また、そのような最もタイトな境界は何か？
• RQ5 最大次数 Δ(G) のスプリットグラフの最大帯域幅は何か？また、これは頂点順序の性質によって特徴付けられるか？

主な発見

• 区間グラフは、右端の辺が存在する場合に左端と中間の頂点間の辺が保存されるような頂点順序を満たすため、帯域幅が Δ(G) 以下であることが示された。
• 補同型比較可能性グラフも、論理的辺条件を満たす頂点順序による特徴付けから、帯域幅が Δ(G) 以下であることが導かれた。
• AT-freeグラフは、帯域幅が Δ(G) で上界づけられることを示し、より広いグラフクラスにその結果を拡張した。
• スプリットグラフは帯域幅が Δ(G)(Δ(G) + 2) 以下であり、これは定数倍の意味でタイトである。
• 最大次数 Δ(G) のスプリットグラフにおいて、帯域幅が Δ(G)²/12 以上であるものが存在し、上界が漸近的にタイトであることを示した。
• 本稿では、順序に基づく特徴付けを核とする手法を用いて、区間グラフ、補同型比較可能性グラフ、AT-freeグラフの帯域幅が Δ(G) で上界づけられることを確立した。