[論文レビュー] Characteristic Classes and Integrable Systems

A. Levin, M. A. Olshanetsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2010

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、マーク付きの楕円曲線上の位相的に非自明なヒッグスバンドルを用いて、特に修正カルロジェ・モーザー（MCM）系と呼ばれる可積分系を構成する。中心が非自明な群（例えば、古典的単連結群、$E_6$、$E_7$）に関連する正則バンドルの特性類を活用することで、動的r行列を介してLax作用素、二次ハミルトニアン、およびポアソン構造を定義し、MCM系がスピン変数の増加と粒子数の減少を伴って標準的CM系を一般化することを示している。これにより、CM系はMCM系の部分代数として埋め込まれる。

ABSTRACT

We consider topologically non-trivial Higgs bundles over elliptic curves with marked points and construct corresponding integrable systems. In the case of one marked point we call them the modified Calogero-Moser systems (MCM systems). Their phase space has the same dimension as the phase space of the standard CM systems with spin, but less number of particles and greater number of spin variables. Topology of the holomorphic bundles are defined by their characteristic classes. Such bundles occur if G has a non-trivial center, i.e. classical simply-connected groups, $E_6$ and $E_7$. We define the conformal version CG of G - an analog of GL(N) for SL(N), and relate the characteristic classes with degrees of CG-bundles. Starting with these bundles we construct Lax operators, quadratic Hamiltonians, define the phase spaces and the Poisson structure using dynamical r-matrices. To describe the systems we use a special basis in the Lie algebras that generalizes the basis of t'Hooft matrices for sl(N). We find that the MCM systems contain the standard CM systems related to some (unbroken) subalgebras. The configuration space of the CM particles is the moduli space of the holomorphic bundles with non-trivial characteristic classes.

研究の動機と目的

• マーク付きの楕円曲線上の位相的に非自明なヒッグスバンドルから可積分系を構成すること。
• SL(N)に対するGL(N)の類似である、Gの共形的アナログCGを定義し、そのバンドルが特性類と関係することを示すこと。
• リー代数におけるt'Hooft行列基底の一般化を用いて、MCM系におけるLax作用素とハミルトニアンを記述すること。
• MCM系が、対応する未破れ対称性に由来する部分代数として標準的カルロジェ・モーザー系を含むことの証明。
• CM粒子の配置空間が、非自明な特性クラスを持つ正則バンドルのモジュライ空間として同定されること。

提案手法

• マーク付きの楕円曲線上の正則ヒッグスバンドルを用いて、可積分系の位相空間を定義する。
• 特に中心が非自明な群（古典的単連結群、$E_6$、$E_7$など）に対して、バンドルを特性類によって特徴付ける。
• SL(N)に対するGL(N)の類似として共形群CGを導入し、そのバンドルが特性類と関係することを示す。
• リー代数における一般化されたt'Hooft行列基底を用いてLax作用素と二次ハミルトニアンを構成する。
• 動的r行列を介してポアソン構造を定義し、系の可積分性を保証する。
• 粒子の配置空間を、非自明な特性クラスを持つ正則バンドルのモジュライ空間と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的に非自明なトポロジーを持つヒッグスバンドルを用いて、楕円曲線上の可積分系をどのように構成できるか。
• RQ2 特性類が、修正カルロジェ・モーザー系に由来する正則バンドルを分類する上で果たす役割は何か。
• RQ3 可積分系の文脈において、共形群CGは正則バンドルの特性クラスとどのように関係するか。
• RQ4 MCM系が、スピンを伴う標準的CM系をどのように一般化するか。
• RQ5 CM粒子の配置空間の幾何的起源は、正則バンドルのモジュライ空間としてどのように解釈できるか。

主な発見

• 修正カルロジェ・モーザー系（MCM）は、スピンを伴う標準的CM系と同一の次元の位相空間を持つが、粒子数が少なく、スピン変数が増加している。
• 正則バンドルのトポロジーは、その特性類によって完全に決定され、これが系を分類する。
• MCM系は、中心が非自明な群（古典的単連結群、$E_6$、$E_7$など）に関連するヒッグスバンドルから生じる。
• リー代数における一般化されたt'Hooft行列基底を用いて系が構成され、sl(N)に対する標準的構成が拡張されている。
• ポアソン構造は動的r行列を介して定義され、系の可積分性が保証される。
• CM粒子の配置空間は、非自明な特性クラスを持つ正則バンドルのモジュライ空間として同定される。