[論文レビュー] Characteristic Classes and Integrable Systems for Simple Lie Groups

A. Levin, M. A. Olshanetsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 8被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、中心が非自明な単純リー群（A, B, C, DおよびE6, E7を含む）に関連する楕円型修正カルロジェロ＝モーザー系の明示的Lax作用素とハミルトニアンを構成する。非自明な特徴類に関連する特別な基底を導入し、ルート系と重み格子のデータを用いて、古典的カルロジェロ＝モーザー系を一般化し、楕円・ワイエルシュトラス・ゼータ関数を用いたLax行列とハミルトニアンの明示的公式を提示する。

ABSTRACT

This paper is a continuation of our previous paper \cite{LOSZ}. For simple complex Lie groups with non-trivial center, i.e. classical simply-connected groups, $E_6$ and $E_7$ we consider elliptic Modified Calogero-Moser systems corresponding to the Higgs bundles with an arbitrary characteristic class. These systems are generalization of the classical Calogero-Moser (CM) systems related to a simple Lie groups and contain CM systems related to some (unbroken) subalgebras. For all algebras we construct a special basis, corresponding to non-trivial characteristic classes, the explicit forms of Lax operators and Hamiltonians.

研究の動機と目的

• 中心が非自明な単純リー群に対する古典的カルロジェロ＝モーザー系を楕円型可積分系へ一般化すること。
• A_N, B_n, C_n, D_n, E6, E7を含むすべての群に対して、明示的なLax作用素とハミルトニアンを構成すること。
• 系の構造を定義する未破れリー部分代数と特徴類を特定すること。
• 重み格子の非自明な要素に関連する特別な基底を用いた、ルート系、重み、および一様な枠組みによる統一的アプローチを提供すること。

提案手法

• 論文は拡張されたディンキン図と基本コ重み λ_{N-1} の作用を用いて、SL(N,C) 内の変換 Λ を定義し、これにより中心 μ_N が生成されることを示す。
• λ が拡張されたルート系に作用する仕組みを用いて、非自明な特徴類に対応する特別な基底を構成し、それによって得られる未破れ部分代数構造を同定する。
• 各群に対して、ワイエルシュトラス楕円関数 E2 と双対カルタン生成子を含む関数 φ^k_β(ũ,z) を用いてLax作用素 L(z) を構築する。
• Lax行列の2次カルタン不変量からハミルトニアンを導出し、生成子のスカラー積と、シフトされた引数における E2 関数の値を用いる。
• 重み格子 P とルート格子 Q の構造に依拠し、商 P/Q が群の中心に同型であることを用いる。
• Sパラメータと E2 関数を用いて、L0′(z)、L1(z)、およびハミルトニアン H_{e7} = H^{CM}_{f4} + H′_0 + H_1 の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心が非自明なすべての単純リー群に対して、楕円型修正カルロジェロ＝モーザー系を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 特徴類はLax作用素とハミルトニアンの構造を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 非自明なコ重みの選択とそれらがルート系に作用する仕組みによって、未破れ部分代数 ˜g0 はどのように生じるか？
• RQ4 E7 に対してLax作用素とハミルトニアンの明示的形は何か？また、F4系への一般化はどのように行われるか？
• RQ5 パラメータ S_{a,±}^{R,+,0}, S_{a,±}^{L,+,0} などの値は、楕円関数の観点から可積分構造をどのように符号化しているか？

主な発見

• SL(N,C) に対して、変換 Λ は標準基底上で位相因子に依存する巡回的シフトを実行し、Λ^N = Id を満たす。
• 中心 μ_N は ζ = exp(2πi/N) によって生成され、PSL(N,C)-バンドルを SL(N,C)-バンドルに引き上げることを妨げる。
• Lax作用素 L0′(z) は φ^0_β(ũ,z) と根 α_{(a,±)}^{(L,+)}, α_{(a,±)}^{(R,+)} および α_{1j} = e1 - ej (j=2,3,5) に付随する生成子から構成される。
• ハミルトニアン H_{e7} は三つの部分に分解される：F4カルロジェロ＝モーザーのハミルトニアン H^{CM}_{f4}、および L0′ と L1 からの寄与 H′_0 と H_1。
• ハミルトニアン H′_0 は S_{a,±}^{R,+,0}S_{-a,∓}^{R,+,0} の和として表され、⟨α_{(a,±)}^{(L,+)}, ū⟩ における E2 関数の値を含む。
• ハミルトニアン H_1 には E2 関数のシフトされた引数、例えば E2(⟨α_{(a,±)}^{(R)}, ū + 1/2⟩) が含まれ、α1, α2, e5 および非対角項 S^{1}_{1,j}S^{1}_{j,1} の寄与も明示的に含む。