[論文レビュー] Characteristic classes associated to Q-bundles

Alexei Kotov, Thomas Strobl|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、Q多様体の圏におけるQ-バンドル（Q多様体の圏におけるファイバー束）に対して、一般化された特徴的類の構成を導入する。この構成では、ゲージ場（切断）とファイバー上の形式の部分複体のコホモロジー類を、底空間のコホモロジー類に結びつける。この枠組みはチャーン＝ウェイの理論を拡張し、トポロジカルなシグマ模型やハミルトニアン・ポアソンバンドルから得られる既知の類を回復する一方で、Q幾何的構造を通じてレコムテのリー代数拡大の特徴的類を統一的に扱う。

ABSTRACT

A Q-manifold is a graded manifold endowed with a vector field of degree one squaring to zero. We consider the notion of a Q-bundle, that is, a fiber bundle in the category of Q-manifolds. To each homotopy class of ``gauge fields'' (sections in the category of graded manifolds) and each cohomology class of a certain subcomplex of forms on the fiber we associate a cohomology class on the base. Any principal bundle yielding canonically a Q-bundle, this construction generalizes Chern-Weil classes. Novel examples include cohomology classes that are locally the de Rham differential of the integrands of topological sigma models obtained by the AKSZ-formalism in arbitrary dimensions. For Hamiltonian Poisson fibrations one obtains a characteristic 3-class in this manner. We also relate to equivariant cohomology and Lecomte's characteristic classes of exact sequences of Lie algebras.

研究の動機と目的

• Q多様体の圏におけるQバンドルの文脈で、主バンドルを超える特徴的類理論を展開すること。
• ゲージ場（切断）と微分形式の部分複体のファイバーのコホモロジー類から、底空間のコホモロジー類を構成することで、チャーン＝ウェイ理論を一般化すること。
• AKSZ形式主義やハミルトニアン・ポアソンバンドルから得られる既知の特徴的類を、一様なQ幾何的枠組みに統合すること。
• 拡大の実現としてQバンドルを用いることで、レコムテの正確なリー代数系列の特徴的類と関連付けること。

提案手法

• Qバンドルを、全空間と底空間の両方が、$[Q,Q] = 0$ を満たす次数1のホモロジー的ベクトル場を持つQ多様体の圏におけるファイバー束として定義する。
• 底空間から正次数の形式の引き戻しによって生成されるイデアル$ {\cal I} $を用いて、商複体$\Omega({\cal M})/{\cal I}$から底空間の関数へのチェーン写像を構成する。
• ゲージ場$ \varphi: {\cal N} \to {\cal M} $を用いて、全微分$ Q_{\scriptscriptstyle T{\cal M}} $を尊重する引き戻し$ f^* $によるコホモロジー写像を誘導する。
• 局所的に自明なQバンドルに対して、$ \Omega({\cal F})_{\cal G} $から$ \Omega({\cal M})/{\cal I} $へのチェーン写像を構成する。ここで$ {\cal F} $は典型的なファイバー、$ {\cal G} $はゲージ群であり、これにより特徴的写像が可能になる。
• 具体的なケースに適用する：主Gバンドル（アティヤ代数的束を生成）、推移的リー代数的束、正確なリー代数系列。
• 拡大に表現を追加し、半直積を用いることで、得られた写像がレコムテの特徴的類を回復することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴的類は、主バンドルを超えてQ多様体の圏におけるファイバー束へどのように一般化可能か？
• RQ2 ゲージ場（切断）とファイバーのコホモロジー類が、Qバンドル理論における底空間のコホモロジー類を生成する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ3 この構成は、AKSZ形式主義を通じてトポロジカルなシグマ模型から得られる既知の類をどのように回復するか？
• RQ4 Qバンドル枠組みは、リー代数拡大のレコムテの特徴的類をどのように統合するか？
• RQ5 この構成は、局所的に自明でないQバンドルやより一般的な幾何的構造へ拡張可能か？

主な発見

• この構成により、ファイバーのコホモロジー類とゲージ場から、底空間のコホモロジーへのwell-definedな特徴的写像が得られ、チャーン＝ウェイ理論が一般化される。
• ハミルトニアン・ポアソンバンドルの場合は、特徴的3類が得られ、シンプレクティック幾何における既知の不変量が拡張される。
• 主Gバンドルの場合は、Qバンドル構成によりアティヤ代数的束が回復され、不変形式のド・ラーム複体を介して標準的なチャーン＝ウェイ類が再現される。
• 拡大をQバンドルとして実現し、表現を用いた半直積拡大を用いることで、レコムテの正確なリー代数系列の特徴的類が再現される。
• Q構造を介したチェーン写像$ S^{\bullet}({\mathfrak{h}}^{*})^{G} \to H^{\bullet}(\tilde{\mathfrak{g}}_{0}) $により、レコムテの類がQ幾何の観点から幾何的実現がなされる。
• この枠組みにより、AKSZ形式主義に由来するトポロジカル場理論の特徴的類を、ファイバー形式部分複体のコホモロジー類に結びつけることで、統一的な取り扱いが可能になる。