[論文レビュー] Characteristic Classes for GO(2n,C)

Yogish I. Holla, Nitin Nitsure|ArXiv.org|Mar 24, 2000

Coding theory and cryptography参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$BO(2n)$ 上の $\mathbb{C}^*$-作用に付随する導分を用いて、$BGO(2n)$ の mod 2 における特異コホモロジー環を明示的に決定する。Gysin 列と Koszul 複体の技法を用いて生成子と関係式を導出する。主な結果は、Stiefel-Whitney 級数と新しい特性類を用いた $H^*(BGO(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ の完全な表示であり、$BGL(2n)$ からのチャーン類の像について明示的な公式が得られる。

ABSTRACT

The complex Lie group GO(2n,C) by definition consists of all complex matrices A of size 2n, such that A times transpose(A) is a non-zero scalar. In this paper we determine explicitly the singular cohomology ring of the classifying space BGO(2n,C) with mod 2 coefficients, in terms of generators and relations. The method consists of analysing a certain derivation on the cohomology ring of BO(2n) (which is a polynomial ring in the Stiefel-Whitney classes) via a Koszul complex, and using this to `solve' the Gysin sequence for the bundle BO(2n) over BGO(2n,C).

研究の動機と目的

• 生成子と関係式を用いて、$H^*(BGO(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ の mod 2 コホモロジー環を明示的に決定すること。
• $\mathbb{C}^*$ が $BO(2n)$ に作用する仕組みと、そのコホモロジー上に誘導される導分を理解し、主 $\mathbb{C}^*$-バンドルの Gysin 列と関連付けること。
• 包含写像 $GO(2n) \hookrightarrow GL(2n)$ による、$H^*(BGL(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ からのチャーン類の像を $H^*(BGO(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ で計算すること。
• 多項式環上の次数 $-1$ の導分 $s = \sum u_i \partial / \partial v_i$ の核を、正則列と Koszul 複体を用いて代数的に解くこと。

提案手法

• $\mathbb{C}^*$-作用に対して、関手的に次数 $-1$ の導分 $s$ を $\mu^* - p^* = \eta \otimes s$ で定義する。ここで $\eta$ は $H^1(\mathbb{C}^*; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ を生成する。
• $H^*(BO(2n))$ 上の導分を $s = \sum_{i=1}^n w_{2i-1} \partial / \partial w_{2i}$ と特定する。ここで $w_i$ は mod 2 の Stiefel-Whitney 級数である。
• 主 $\mathbb{C}^*$-バンドル $BO(2n) \to BGO(2n)$ の Gysin 長完全列を用い、$s = \pi^* \circ d$ により導分 $s$ を境界写像 $d$ と関連付ける。
• 正則列と Koszul 複体を用いて、多項式環 $k[w_1, \dots, w_{2n}]$ 内の核 $\ker(s)$ を解き、不変部分環 $B = \ker(s)$ を特定する。
• 核 $\ker(s)$ と像 $\operatorname{im}(s)$ の構造を用いて Gysin 列を解き、$H^*(BGO(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ の生成子と関係式を構成する。
• $n+1$ 個の $\mathbb{P}^\infty$ のコピーを用いた普遍例を用い、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[\lambda^2]$ 上での行列の逆行列計算により、チャーン類の像を明示的に導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $H^*(BGO(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ の完全な表示を生成子と関係式で与えるにはどうすればよいか？
• RQ2 $\mathbb{C}^*$-作用が $BO(2n)$ に作用するとき、そのコホモロジー上に誘導される導分はどのように定義され、Gysin 列とどのように関連するか？
• RQ3 $H^*(BGL(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ からの mod 2 チャーン類 $\overline{c}_i$ の $H^*(BGO(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 内での像は何か？
• RQ4 多項式環 $k[u_1,\dots,u_n,v_1,\dots,v_n]$ 上の導分 $s = \sum u_i \partial / \partial v_i$ の核を、Koszul 複体を用いて代数的にどのように計算できるか？
• RQ5 Gysin 列と導分 $s$ の導出構造から、$BGO(2n)$ のコホモロジーを再構成できるか？

主な発見

• コホモロジー環 $H^*(BGO(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ は、クラス $\lambda$, $a_{2i-1}$, $d_T$, $b_{4j}$ によって生成され、導分 $s$ の核から得られる明示的な関係式を持つ。
• $H^*(BO(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 内の不変部分環 $\ker(s)$ は $k[u_1,\dots,u_n, v_1^2,\dots,v_n^2]$ に同型であり、$BGO(2n)$ のコホモロジーはこの環を $s$ の像で割った商環に同型である。
• 第一チャーン類 $\overline{c}_1$ の像は $a_1^2 + n\lambda$ に等しく、ここで $n$ はランク、$\lambda$ は $\mathbb{C}^*$ のオイラー類である。
• $\overline{c}_3$ の像は $n \geq 2$ のとき $a_3^2 + \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}\lambda^3 + (n-1)\lambda b_4$ に等しい。
• 導分 $s$ は $H^*(BO(2n))$ 上で明示的に $s = \sum_{i=1}^n w_{2i-1} \partial / \partial w_{2i}$ と与えられ、その核は Koszul 複体の技法を用いて計算される。
• $H^*(BGL(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \to H^*(BGO(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ の環準同型は完全に記述されており、$\overline{c}_{2r}$ および $\overline{c}_{2r-1}$ の像は $\lambda$, $b_{4j}$, $a_{2i-1}$ に関する多項式として表される。