[論文レビュー] Characteristic classes in the Chow ring

Dan Edidin, W. Graham|ArXiv.org|Dec 10, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 65

ひとこと要約

この論文は、スキーム上の主G bundleに対する代数的特性類を特徴づけ、Gが再帰的群である場合、有理数体ℚとテンソル積をとった後、その特性類の環が最大トーラスのコキャラクター格子上の対称代数のWeyl不変部分の同型であることを示している。主な結果は、すべての有理特性類が関連するベクトル bundle のチャーン類から生じることを示しており、長年の懸案であった位相的特性類の代数的性と、非位相的代数的特性類の存在に関する問いを解決する。

ABSTRACT

We study the ring of characteristic classes with values in the Chow ring for principal $G$-bundles over schemes. If we consider bundles which are locally trivial in the Zariski topology, then we show, for $G$ reductive, that this ring is isomorphic to the Weyl group invariants in the algebra generated by characters of the maximal torus. For general principal bundles the same isomorphism holds after tensoring the coefficients with ${\Bbb Q}$. As a corollary, we show that any (non-torsion) topological characteristic class is algebraic when applied to Zariski locally trivial bundles over complex algebraic varieties.

研究の動機と目的

• スキーム上の主G bundle に対する代数的特性類の環の構造を特定すること。
• 代数的特性類が位相的ものから生じないものがあるかどうかを解明すること。
• 特に非特別群の場合に、代数的特性類と位相的特性類の関係を明確にすること。
• 特性類の環とコキャラクター格子上のWeyl不変対称代数との明確な同型を確立すること。

提案手法

• エタール局所的に自明なG bundle 用の環 𝒞(G) とザリスキー局所的に自明な bundle 用の環 𝒞Zar(G) を定義する。
• 最大トーラス T の特徴の線分束を用いて、写像 ΦE: S(𝕋̂) → A*(E/B) を構成する。
• S(𝕋̂) 内のWeyl不変多項式が、E/B から X への引き戻しにより特性類を生じることを証明する。
• G/B のセル分解を用いたLeray-Hirsch型の議論により、ファイバー積において π₁*p = π₂*p が成り立つことを示し、引き戻しの不変性を導く。
• Vistoliの結果とBorelの定理を用いて有理コホモロジー比較を行い、H*(BG, ℚ) との有理同型を導出する。
• アフィンおよび固有な局所的に自明なファイブレーションに沿った引き戻しの単射性と基底変換を用いて、特性類写像の単射性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スキーム上のG bundle に対するすべての代数的特性類は、関連するベクトル bundle のチャーン類の有理係数線形結合で表されるか？
• RQ2 位相的特性類から誘導されない代数的特性類は存在するか？
• RQ3 ザリスキー局所的に自明なG bundle に対する特性類の環は、コキャラクター格子上のWeyl不変対称代数と同型か？
• RQ4 G の表現を用いて、A*(X; ℤ) に値をとる特性類の環を記述できるか？
• RQ5 特に非特別群の場合に、環 𝒞(G) と 𝒞Zar(G) はどのように比較できるか？

主な発見

• エタール局所的に自明なG bundle に対する有理特性類の環は、S(𝕋̂)W ⊗ ℚ に同型である。
• ザリスキー局所的に自明なG bundle に対する有理特性類の環は、S(𝕋̂)W ⊗ ℚ に同型である。
• すべての有理特性類は、関連するベクトル bundle のチャーン類から生じる。これはVistoliが提起した問いを解決する。
• GL(n)、Sp(2n)、SO(2n+1) に対して、環 𝒞Zar(G) は ℤ[t₁,…,tn] に同型であり、ここで ti は標準的表現のチャーン類である。
• SO(2n) のオイラー類は、関連する bundle のチャーン類の多項式として表せない唯一の特性類であるが、他の方法で構成可能である。
• 環 𝒞Zar(G; ℤ/2ℤ) は、𝒞Zar(G) ⊗ ℤ/2ℤ に同型でない。これは、係数環をとる特性類が自明に拡張されないことを示している。