[論文レビュー] Characteristic classes of flat bundles and determinant of the Gauss-Manin connection

Hélène Esnault|ArXiv.org|Jun 13, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、代数的微分特性類を用いて平坦なバンドルの特性類の枠組みを確立し、ガウス＝マインの接続の行列式と関連付ける。局所的不変量とトレースの留数を用いて構成された $\varepsilon$-線上の $\varepsilon$-接続がガウス＝マイン接続と整合的であることを証明し、コhomologyの行列式について、局所的 $\varepsilon$-因子を用いたグローバルな公式を提供する。

ABSTRACT

The purpose of this note is to give a survey on recent progress on characteristic classes of flat bundles, and how they behave in a family.

研究の動機と目的

• 代数的微分特性類を用いて、平坦バンドルの特性類のコhomologicalな枠組みを構築すること。
• 積分公式を通じて、ガウス＝マイン接続の行列式と局所的 $\varepsilon$-因子を関連付けること。
• $\varepsilon$-線上にガウス＝マイン接続と整合的な接続を構成すること。
• チェーン＝チーバー＝サイモンズの微分特性類の構成を代数的および算術的設定に一般化すること。
• 家族におけるコhomologyの行列式の代数的・解析的および $\varepsilon$-因子的アプローチを統一すること。

提案手法

• 平坦バンドルの接続に対して、$AD(X) = \oplus_n \mathbb{H}^n(X, \mathcal{K}_n^M \xrightarrow{d\log} \Omega_{X/k}^n \to \cdots \to \Omega_{X/k}^{2n-1})$ という環を用いて特性類を定義する。
• 代数的K理論のGersten分解を用いて、$AD^n(X)$ をチャウ群とド・ラームコhomologyに関連付ける。
• 特異点における局所的モノドロミーを用いて、$\lambda_d$ と $\lambda_c$ を通じて、離散的およびコンパクトな行列式の積として $\varepsilon$-線を構成する。
• 関手性を用いて、$\omega_{K((t))/K}^\times$ 上の $\varepsilon$-線への相対接続を定義し、ガウス＝マイン接続と整合的であることを示す。
• トレースと留数を用いた公式 $\varepsilon(\nabla, dt/t^m) = \mathrm{Tr} \mathrm{Res}_0 da a^{-1} A + \frac{m}{2} d\log \det(a(0))$ を導出する。
• グローテンディークの接続の定義と可積分な持ち上げを用いて、相対接続を $k$ 上の可積分接続へ持ち上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦バンドルの特性類は、微分特性類を用いて代数的に定義され、家族へと拡張可能であるか？
• RQ2 ガウス＝マイン接続の文脈において、コhomologyの行列式と局所的 $\varepsilon$-因子の正確な関係は何か？
• RQ3 $\varepsilon$-線上の $\varepsilon$-接続は、ガウス＝マイン接続と整合的になるようにどのように構成可能か？
• RQ4 代数的微分特性類を用いて、チェーン＝チーバー＝サイモンズの微分特性類を代数的および算術的設定に一般化可能か？
• RQ5 高ランクにおける極化されたフレドホルムライン法と代数的 $\varepsilon$-因子構成は、どのように関係するか？

主な発見

• $c_n((E,\nabla)) \in AD^n(X)$ は関手的で、加法的であり、チャウ群 $CH^n(X)$ におけるチェーン類 $c_n(E)$ へ写像される。
• 曲率評価 $d(c_n((E,\nabla)))$ はチェーン＝ヴェイル形式 $c_n(\nabla^2)$ に等しく、代数的幾何と微分幾何を結びつける。
• $c_n((E,\nabla))$ の一般点への制限は、$H^0(X, \Omega_{X/k}^{2n-1}/d\Omega_{X/k}^{2n-2})$ 内の代数的チェーン＝サイモンズ不変量を与える。
• $k \subset \mathbb{C}$ のとき、$D^n(X)$ 内の $\iota(c_n((E,\nabla)))$ は微分特性類 $c_n(E_{\mathrm{an}}^{\nabla}) \in H^{2n-1}(X_{\mathrm{an}}, \mathbb{C}/\mathbb{Z}(n))$ に対応する。
• $\varepsilon$-線上の $\varepsilon$-接続は $\varepsilon(\nabla, dt/t^m) = \mathrm{Tr} \mathrm{Res}_0 da a^{-1} A + \frac{m}{2} d\log \det(a(0))$ で与えられ、トレースと留数を含む公式である。
• 積分公式 $\det H^\ast(X/K, E_{\mathrm{min}}) = \otimes_{x \in \bar{X} \setminus X} \epsilon_x(\nabla_{K((t))/K, \nu})$ が成り立ち、$\epsilon_x$ は局所的不変量によって定義される。