[論文レビュー] Characteristic classes of transitive Lie algebroids. Categorical point of view

A. S. Mishchenko|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、固定された有限次元リー代数構造 ${\mathfrak{g}}$ を持つ推移的リー代数的群に、圏論的かつホモトピー論的枠組みを確立する。同定された分類空間 ${\cal B}_{\mathfrak{g}}$ は、ホモトピー類の写像によってそのような代数的群を分類する。本稿は、推移的リー代数的群の特徴的類を、${\cal B}_{\mathfrak{g}} \simeq F({\mathfrak{g}}) \times K_{\mathrm{Out}({\mathfrak{g}})}(Z{\mathfrak{g}},2)$ のコホモロジーと特定し、古典的チェーン＝ヴェイル準同型をホモトピー論的分類と統合する。

ABSTRACT

The talk was done at the International Conference "Analysis, Topology and Applications", Harbin, China, 23.08.2011. Transitive Lie algebroids have specific properties that allow to look at the transitive Lie algebroid as an element of the object of a homotopy functor. Roughly speaking each transitive Lie algebroids can be described as a vector bundle over the tangent bundle of the manifold which is endowed with additional structures. Therefore transitive Lie algebroids admits a construction of inverse image generated by a smooth mapping of smooth manifolds. The intention of my talk is to use a homotopy classification of transitive Lie algebroids due to K.Mackenzie (2005) and on this basis to construct a classifying space. The realization of the intention allows to describe characteristic classes of transitive Lie algebroids form the point of view a natural transformation of functors similar to the classical abstract characteristic classes for vector bundles and to compare them with that derived from the Chern-Weil homomorphism by J.Kubarski (1991).

研究の動機と目的

• 固定された構造的リー代数 ${\mathfrak{g}}$ を持つ推移的リー代数的群のホモトピー論的分類を構築すること。
• マクケンジーのホモトピー分類フレームワークを用いて、推移的リー代数的群のための分類空間 ${\cal B}_{\mathfrak{g}}$ を構成すること。
• 推移的リー代数的群の特徴的類を、分類空間 ${\cal B}_{\mathfrak{g}}$ のコホモロジーの要素として解釈すること。
• チェーン＝ヴェイル準同型から得られる特徴的類と、ホモトピー分類から生じる特徴的類を比較すること。
• 古典的チェーン＝ヴェイル手法を、リー代数的群理論における特徴的類の圏論的・関手的視点と統合すること。

提案手法

• 推移的リー代数的群を、ファイバーが ${\mathfrak{g}}$ であるベクトルバンドル $E \to TM$ として定義し、歪対称性、ジャコビ恒等式、ライブニッツ則を満たすリー括弧を備える。
• 滑らかな多様体から推移的リー代数的群へのホモトピー関手 ${\cal T}{\cal L}{\cal A}_{\mathfrak{g}}$ を、引き戻し関手 $f^{!!}$ を用いて定義する。
• 関手 ${\cal T}{\cal L}{\cal A}_{\mathfrak{g}}$ のホモトピーコロイミットまたは分類対象として、分類空間 ${\cal B}_{\mathfrak{g}}$ を構成する。
• ${\cal B}_{\mathfrak{g}} \simeq F({\mathfrak{g}}) \times K_{\mathrm{Out}({\mathfrak{g}})}(Z{\mathfrak{g}},2)$ を特定する。ここで $F({\mathfrak{g}})$ は ${\mathfrak{g}}$-接続の空間であり、$K_{\mathrm{Out}({\mathfrak{g}})}(Z{\mathfrak{g}},2)$ はエイレンベルク＝マクレイン空間である。
• 不変多項式と特徴的類を関係付けるために、チェーン＝ヴェイル準同型 $h_{\cal A}: \bigoplus (\Gamma \bigwedge L^*)^I \to {\cal H}^*(M, {\cal A})$ を適用する。
• ${\cal T}{\cal L}{\cal A}_{\mathfrak{g}}$ の関手とコホモロジー関手 $[-, {\cal B}_{\mathfrak{g}}]$ 間の自然変換を確立し、特徴的類を ${\cal H}^*({\cal B}_{\mathfrak{g}})$ の要素として得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたリー代数 ${\mathfrak{g}}$ を持つ推移的リー代数的群を、ホモトピー論的手法を用いて同型の意味でどのように分類できるか。
• RQ2 多様体上の推移的リー代数的群をパラメトライズする分類空間 ${\cal B}_{\mathfrak{g}}$ の構造は何か。
• RQ3 このホモトピー論的枠組みにおいて、推移的リー代数的群の特徴的類はチェーン＝ヴェイル準同型とどのように関係するか。
• RQ4 チェーン＝ヴェイル構成は、推移的リー代数的群の文脈において、関手の自然変換として解釈可能か。
• RQ5 ${\cal B}_{\mathfrak{g}}$ のコホモロジー的構造は何か。また、その構造は特徴的類をどのように符号化するか。

主な発見

• 構造代数 ${\mathfrak{g}}$ を持つ推移的リー代数的群の分類空間 ${\cal B}_{\mathfrak{g}}$ は、$F({\mathfrak{g}}) \times K_{\mathrm{Out}({\mathfrak{g}})}(Z{\mathfrak{g}},2)$ とホモトピー同値であり、ここで $F({\mathfrak{g}})$ は ${\mathfrak{g}}$-接続の空間であり、$K_{\mathrm{Out}({\mathfrak{g}})}(Z{\mathfrak{g}},2)$ はエイレンベルク＝マクレイン空間である。
• 多様体 $M$ 上の推移的リー代数的群の特徴的類の族は、コホモロジー環 ${\cal H}^*({\cal B}_{\mathfrak{g}})$ すなわち ${\cal H}^*(F({\mathfrak{g}}) \times K_{\mathrm{Out}({\mathfrak{g}})}(Z{\mathfrak{g}},2))$ と同型である。
• 推移的リー代数的群のチェーン＝ヴェイル準同型は引き戻しと可換であり、自然性と分類空間構成との整合性を保証する。
• チェーン＝ヴェイル準同型から得られる特徴的類は、自然変換 $[M, {\cal B}_{\mathfrak{g}}] \to {\cal H}^*(M, {\cal A})$ の像として特定される。
• ${\cal H}^2({\cal A}, \rho^T, ZL)$ が、結合写像 $Coupling(T)$ のファイバー上で自由かつ推移的であることは、障害 $\mbox{Obs}(T) = 0$ のとき確認され、分類の整合性が裏付けられる。
• 本構成により、特徴的類は普遍空間のコホモロジーの要素としての圏論的解釈が得られ、ベクトルバンドルの古典理論を一般化する。