[論文レビュー] Characteristic foliation of twisted Jacobi manifolds

Joana M. Nunes da Costa, Fani Petalidou|ArXiv.org|Dec 6, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ねじれヤコビ多様体の特徴的foliationを調査し、各葉が非自明なねじれヤコビ構造を引き継ぐことを証明する。トランスティーブなねじれヤコビ多様体の場合、foliationは次のように分解される：奇数次元の場合はねじれ接触構造、偶数次元の場合はねじれ局所的共形シンプレクティック構造であり、ねじれポisson幾何学からの構造を一般化する。

ABSTRACT

We study the characteristic foliation of a twisted Jacobi manifold. We show that a twisted Jacobi manifold is foliated into leaves that are, according to the parity of the dimension, endowed with a twisted contact or a twisted locally conformal symplectic structure.

研究の動機と目的

• ねじれヤコビ多様体における特徴的foliationの幾何的構造を理解すること。
• 多様体の次元に応じて、特徴的葉上に生じるねじれ幾何的構造（接触または局所的共形シンプレクティック）の種別を特定すること。
• ねじれヤコビ多様体の各特徴的葉が、トランスティーブなねじれヤコビ構造を有することを確立すること。
• ねじれポisson幾何学からの結果を、より広いクラスのねじれヤコビ構造へ一般化すること。
• foliationを通じて、ねじれヤコビ多様体とねじれ接触またはねじれ局所的共形シンプレクティック構造との関係を明確にすること。

提案手法

• $T^*M \times \mathbb{R}$ 上のLie algebroid構造を、ねじれヤコビ構造 $((\Lambda,E),\omega)$ に関連づけ、アーランク写像 $\pi \circ (\Lambda,E)^\#$ を用いる。
• 特徴的分布をアーランク写像の像として定義し、これは完全に可積分であり、$M$ のfoliationを誘導する。
• 1-コサイクルによって修正されたショウテン bracket 形式を用い、方程式 (1)、(2)、(3) を通じてねじれヤコビ条件を表現する。
• 特徴的葉上に局所的な適応座標を構成し、関数を上に持ち上げ、各葉上で誘導された bracket $\{\cdot,\cdot\}_S$ を定義する。
• 双ベクトル場 $\Lambda^\#$ の逆を用いて2形式 $\Theta$ を定義し、接触の場合に $\Theta = d\vartheta + \omega$ を通じて $\omega$ および $\vartheta$ と関係づける。
• $\Lambda^\#$ のランクと $E$ が $\mathrm{Im}(\Lambda^\#)$ 内にある位置関係を分析し、偶数次元と奇数次元のケースを区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれヤコビ多様体の特徴的foliationは、多様体を幾何的に意味のある部分多様体へどのように分解するか？
• RQ2 多様体の次元に応じて、各特徴的葉上に誘導されるねじれ幾何的構造（接触または局所的共形シンプレクティック）の種別は何か？
• RQ3 $C^\infty(M,\mathbb{R})$ 上の bracket $\{f,g\}$ は、各特徴的葉上でwell-definedなねじれヤコビ構造に引き継がれるか？
• RQ4 トランスティーブな場合に、ねじれヤコビ構造は、ねじれ接触またはねじれ局所的共形シンプレクティック構造からグローバルに特徴づけられるか？
• RQ5 2形式 $\omega$ は、葉上の構造の種別を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• ねじれヤコビ多様体の特徴的foliationは、完全に可積分であり、アーランク写像 $\pi \circ (\Lambda,E)^\#$ の像によって誘導される。
• トランスティーブな場合、$\dim M$ が偶数のとき、ねじれヤコビ構造は $d\vartheta = 0$ および $d(\Theta - \omega) + \vartheta \wedge (\Theta - \omega) = 0$ を満たすねじれ局所的共形シンプレクティック構造から生じる。
• トランスティーブな場合、$\dim M$ が奇数のとき、ねじれヤコビ構造は $\Theta = d\vartheta + \omega$、$i(E)\Theta = 0$、および $\vartheta \wedge \Theta^n \neq 0$ を満たすねじれ接触構造から生じる。
• 各特徴的葉 $S$ は、誘導された bracket $\{\tilde{f},\tilde{g}\}_S = \{f,g\}(x,0)$ を通じて、トランスティーブなねじれヤコビ構造を引き継ぎ、積分曲線に沿った不変性によりwell-definedである。
• 各葉上の誘導構造はトランスティーブであり、その次元に応じた関連する双ベクトル場のランクが最大である。
• foliationは、多様体を、次元の偶奇に応じて、ねじれ接触（奇数次元）またはねじれ局所的共形シンプレクティック（偶数次元）の葉へ分解する。