[論文レビュー] Characteristic Lyapunov Vectors and the Shadowing Direction of a Chaotic Flow past a 3-D Cylinder at Reynolds Number 525

Angxiu Ni|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2017

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 36被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、Re = 525 の3次元シリンダーを囲む乱流の流れにおいて、特徴的リャプノフベクトル（CLVs）と非侵襲的最小二乗シャドウング（NILSS）アルゴリズムを用いて、シャドウイング方向の解析を行っている。CLVの角度を用いて一様な双曲性を確認し、16の不安定方向を特定するとともに、長時間平均の目的関数に対する感度計算におけるシャドウイング方向の物理的有用性を示している。

ABSTRACT

We can make two kinds of perturbations to a parametrized chaotic dynamical system: perturbations on initial conditions and on the parameter. Typically, for both perturbations, the first order approximation of the difference between the original and new trajectory grows exponentially. However, if we coordinate the two perturbations carefully, the first order approximation between the original and new trajectory remains bounded even as time goes to infinity: such first order approximation is called the shadowing direction. For the shadowing direction to exists, the dynamical system should satisfy the uniform hyperbolicity assumption, that is, the directions of different Characteristic Lyapunov Vectors (CLV) are distinct. In this paper, the chaotic dynamical system is a flow past a 3-D cylinder under Reynolds number 525. We first compute the 40 fastest growing CLVs. By plotting the flow field of CLVs, we discover that the flow pattern of different CLVs moves towards the high-dissipation area, as the growing rate of CLVs becomes negative. We also find that this flow problem has 16 unstable directions, which implies the attractor is low-dimensional. Moreover, by computing angles between different CLVs, we verify that this problem does satisfy the uniform hyperbolicity assumption. Next, we plot the flow field of the shadowing direction computed by the Non-Intrusive Least Squares Shadowing (NILSS) algorithm. Finally, we exhibit the physicality and usefulness of the shadowing direction by using it to compute the sensitivities of some long-time averaged objectives.

研究の動機と目的

• 3次元シリンダーの流れによって支配される乱流力学系におけるシャドウイング方向の存在と物理的関連性を調査すること。
• シャドウイング方向が存在するための前提条件である一様な双曲性仮定を、特徴的リャプノフベクトル（CLVs）間の角度を分析することによって検証すること。
• 非侵襲的最小二乗シャドウング（NILSS）アルゴリズムを用いてパラメータ空間におけるシャドウイング方向を計算し、その流れ場を可視化すること。
• シャドウイング方向が、乱流系における長時間平均の目的関数の感度を計算するうえで有効であることを示すこと。

提案手法

• 乱流の局所的不安定構造を解析するため、40個の最も成長率の高い特徴的リャプノフベクトル（CLVs）を計算する。
• CLVsの流れ場を可視化し、空間的パターンを特定するとともに、高散逸領域との相関関係を評価する。
• CLVs間の角度を計算して、安定多様体と不安定多様体の方向が明確に分離されているかを確認し、一様な双曲性仮定を検証する。
• 非侵襲的最小二乗シャドウング（NILSS）アルゴリズムを適用し、パラメータ空間におけるシャドウイング方向を計算する。
• 計算されたシャドウイング方向の物理的構造を分析し、それらが基礎となる流れのダイナミクスとどのように関連しているかを検討する。
• シャドウイング方向を用いて、長時間平均の目的関数の感度を計算し、その物理的意味の有効性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元シリンダーを囲む乱流（Re = 525）は、明確に分離されたCLV方向によって示されるように、一様な双曲性仮定を満たしているか？
• RQ2 シャドウイング方向の空間的構造は何か？ そして、流れのダイナミクスや散逸パターンとどのように関連しているか？
• RQ3 アトラクタ内に存在する不安定方向はいくつあるか？ これは系の次元数にどのような意味を持つのか？
• RQ4 この流体力学系において、NILSSアルゴリズムを非侵襲的に用いてシャドウイング方向を効果的に計算できるか？
• RQ5 計算されたシャドウイング方向は物理的に意味があり、長時間平均の量の感度解析に有効であるか？

主な発見

• 系には16の不安定方向が存在し、これは混沌としたアトラクタが低次元的であることを示している。
• CLVs間の角度の計算により、一様な双曲性仮定が確認され、明確に定義されたシャドウイング方向の存在が裏付けられた。
• CLVの流れ場から、成長率が大きいベクトルは高散逸領域に局在しており、成長率が負に転じるに従いパターンが変化することが分かった。
• NILSSにより計算されたシャドウイング方向は、支配的流れの特徴と散逸領域に沿った一貫性のある物理的構造を示している。
• シャドウイング方向を用いることで、長時間平均の目的関数に対する感度計算が高精度で可能となり、乱流系における実用的有用性が実証された。
• CLVの流れパターンおよびシャドウイング方向は、高渦度領域および高エネルギー散逸領域と強く相関していることが明らかになった。