[論文レビュー] Characteristic matrix of covering and its application to boolean matrix decomposition and axiomatization

Shiping Wang, Qingxin Zhu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2012

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 27被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、被覆の特徴的行列を2種類導入し、ブール行列を用いて3種類の被覆近似作用素を表現する。ブール行列を別の行列とその転置行列のブール積に分解するための必要十分条件を確立することで、アルゴリズム実装を伴う被覆に基づく粗い集合の新たな行列式公理化を可能にする。

ABSTRACT

Covering is an important type of data structure while covering-based rough sets provide an efficient and systematic theory to deal with covering data. In this paper, we use boolean matrices to represent and axiomatize three types of covering approximation operators. First, we define two types of characteristic matrices of a covering which are essentially square boolean ones, and their properties are studied. Through the characteristic matrices, three important types of covering approximation operators are concisely equivalently represented. Second, matrix representations of covering approximation operators are used in boolean matrix decomposition. We provide a sufficient and necessary condition for a square boolean matrix to decompose into the boolean product of another one and its transpose. And we develop an algorithm for this boolean matrix decomposition. Finally, based on the above results, these three types of covering approximation operators are axiomatized using boolean matrices. In a word, this work borrows extensively from boolean matrices and present a new view to study covering-based rough sets.

研究の動機と目的

• 被覆に基づく粗い集合理論とブール行列分解を結ぶために、特徴的行列を導入すること。
• ブール行列を用いて、3種類の被覆近似作用素（第2、第5、第6）の行列式表現を提供すること。
• 正方ブール行列 A が行列 B とその転置行列 B^T のブール積 B · B^T に分解可能であるための必要十分条件を導出すること。
• 導出された条件に基づくブール行列分解のためのアルゴリズムを開発すること。
• ブール行列の性質を用いて、3種類の被覆近似作用素を公理化すること。

提案手法

• 被覆 C から2種類の特徴的行列（M_C と Gamma(C)）を定義し、被覆近似作用素を表現する。
• 特徴的行列を用いて、第2、第5、第6の上部および下部近似作用素をブール行列演算として表現する。
• 正方ブール行列 A が B · B^T に分解可能であるための必要十分条件を確立し、A^T = A かつすべての i に対して A_ii = 1 を要件とする。
• A = B · B^T を満たす最小のブール行列 B を見つけることで、そのような分解を計算するアルゴリズムを設計する。
• 行列分解の条件を活用し、3種類の被覆近似作用素をブール行列の性質を用いて公理化する。
• 関係行列の対応を活用：第2作用素には反射的かつ対称的関係、第5および第6作用素には反射的かつ推移的関係を対応付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 被覆近似作用素は、特徴的行列を介してブール行列によって同等に表現可能か？
• RQ2 正方ブール行列が行列とその転置行列のブール積に分解可能であるための必要十分条件は何か？
• RQ3 このような分解を計算するためのアルゴリズムはどのように設計可能か？
• RQ4 3種類の被覆近似作用素は、ブール行列分解を用いて公理化可能か？
• RQ5 被覆に基づく粗い集合と、関係に基づく一般化粗い集合との間には、行列表現を通じてどのような関係があるか？

主な発見

• 第2上部近似作用素 SH_C は、A^T = A かつすべての i に対して A_ii = 1 を満たすブール行列 A に等価である。
• 第5上部近似作用素 IH_C は、A^2 = A かつすべての i に対して A_ii = 1 を満たすブール行列 A に対応する。
• 第6上部近似作用素 XH_C は、A = B · B^T かつ B^2 = B かつすべての i に対して B_ii = 1 を満たすブール行列 A によって特徴づけられる。
• ブール行列分解 A = B · B^T が成立するための必要十分条件は、A が対称的かつすべての対角成分が 1 であることである。
• 分解のためのアルゴリズムは、A = B · B^T を満たす最小のブール行列 B を見つけることに基づき、正しくかつ完全に動作する。
• 3種類の近似作用素の公理化は、ブール行列の性質を用いて達成され、反射的かつ対称的、または反射的かつ推移的関係と結びついている。