[論文レビュー] Characteristic polynomials of modified permutation matrices at microscopic scale

Valentin Bahier|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ランダム置換行列の特徴多項式およびその変種（1-成分が単位円上の i.i.d. 確率変数に置き換えられたもの）の微視的スケーリング極限を研究する。Ewens 測度および適切な正規化のもとで、スケーリングされた特徴多項式は、仮想等長写像にインspiredされたカップリング法を用いて、明示的な整関数にほとんど確実に収束する。これは、円型ユニタリアンサンプル（CUE）の結果を置換に基づく確率的行列へと拡張するものである。

ABSTRACT

We study the characteristic polynomial of random permutation matrices following some measures which are invariant by conjugation, including Ewens' measures which are one-parameter deformations of the uniform distribution on the permutation group. We also look at some modifications of permutation matrices where the entries equal to one are replaced by i.i.d uniform variables on the unit circle. Once appropriately normalized and scaled, we show that the characteristic polynomial converges in distribution on every compact subset of $\\mathbb{C}$ to an explicit limiting entire function, when the size of the matrices goes to infinity. Our findings can be related to results by Chhaibi, Najnudel and Nikeghbali on the limiting characteristic polynomial of the Circular Unitary Ensemble.

研究の動機と目的

• 置換行列の共役不変測度（Ewens 測度を含む）の下で、特徴多項式の漸近的挙動を分析すること。
• 特徴多項式の微視的スケーリングを研究することで、CUE からの結果を置換行列へと拡張すること。
• 独創的なカップリング法を用いて、スケーリングされた特徴多項式が制限整関数にほとんど確実に収束することを確立すること。
• 1の代わりに単位円上の一様 i.i.d. 変数を有する、変種置換行列への極限挙動の一般化。
• 循環長および単位円上の一様確率変数を用いて、制限整関数の成長および解析的性質を特徴化すること。

提案手法

• 単位円上の一様 i.i.d. 変数を用いて、仮想置換および変種置換の系列を生成するカップリング法を導入する。
• コンパクト集合 $ z o ext{compact set in } bC $ に対して、スケーリングされた特徴多項式 $ ilde{ heta}_n(z) = rac{ ilde{Z}_n(e^{2i au z/n})}{ ilde{Z}_n(1)} $ および $ heta_{n,eta}(z) = rac{Z_n(e^{2i au(z/n + eta)})}{Z_n(e^{2i aueta})} $ を定義する。ここで $ eta $ は無理数である。
• 正規化された循環長 $ y_j^{(n)} $ および i.i.d. 単位円変数 $ u_j $ を用いて、スケーリング多項式を表し、$ ilde{ heta}_n(z) = extstyleigprod_{j: ext{cycle length } e 0} rac{e^{2i au z y_j^{(n)}} - u_j}{1 - u_j} $ を得る。
• 正規化された循環長のポアソン＝ディリクレ過程への収束および仮想等長写像のカップリングを用いて、ほとんど確実な収束を達成する。
• 中程度の偏差推定および制限関数の零点 $ w_k $ における積の推定を用いて、成長および解析性を制御する。
• 制限関数の成長に対する境界を、$ | ilde{ heta}_ y{infty}(z)| le ext{e}^{C|z| ext{log}(2+|z|)} $ および $ heta_{ y{infty},eta}(z) $ についても同様に確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ewens 測度の下で、ランダム置換行列の特徴多項式は微視的スケールで制限整関数に収束するか？
• RQ2 置換行列の1-成分を、単位円上の一様 i.i.d. 変数に置き換えると、特徴多項式のスケーリング極限にどのような影響を与えるか？
• RQ3 仮想等長写像に基づくカップリング法が、スケーリングされた特徴多項式のほとんど確実な収束を保証できるか？
• RQ4 スケーリングされた特徴多項式から生じる制限整関数の成長および解析的性質は何か？
• RQ5 スケーリング $ z/n + \beta $ の無理数パrameter $ \beta $ に依存する極限挙動はどのように変化するか？

主な発見

• スケーリングされた特徴多項式 $ \tilde{\theta}_n(z) $ は、$ n \to \ty{infty} $ のとき、$ (y_j) $ を正規化された循環長、$ u_j $ を単位円上の一様 i.i.d. 変数として、ほとんど確実に整関数 $ \tilde{\theta}_\ty{infty}(z) = \textstyle\bigprod_{j=1}^\ty{infty} \frac{e^{2i\tau z y_j} - u_j}{1 - u_j} $ に収束する。
• 制限関数 $ \tilde{\theta}_\ty{infty}(z) $ は、ある確率的定数 $ C > 0 $ に対して、ほとんど確実に $ |\tilde{\theta}_\ty{infty}(z)| \tle \text{e}^{C|z|\text{log}(2+|z|)} $ を満たす。
• 標準的置換行列の場合、スケーリング多項式 $ \theta_{n,\beta}(z) $ は、$ \beta $ が無理数のとき、ほとんど確実に $ \theta_{\ty{infty},\beta}(z) = \textstyle\bigprod_{j: \text{cycle length } \ne 0} \frac{e^{2i\tau(z/n + \beta)\tilde{\tau}_j} - 1}{e^{2i\tau\beta\tilde{\tau}_j} - 1} $ に収束する。
• 制限関数 $ \theta_{\ty{infty},\beta}(z) $ は、すべての $ \ty{eps} > 0 $ に対して $ |\theta_{\ty{infty},\beta}(z)| \tle C_\ty{\ty{eps}} \text{e}^{(\ty{eps} + 2\tau(y_0 + (1-y_0)t_\beta))|z|} $ を満たす。ここで $ t_\beta = \frac{1}{2\text{sin}(\tau\beta)} $ である。
• 制限関数の零点 $ w_k $ は、任意の $ \ty{eps} > 0 $ に対して、ほとんど確実に $ w_k = \frac{k}{1 - y_0} + \ty{O}(k^{1/2 + \ty{eps}}) $ を満たす。
• スケーリング多項式 $ \tilde{\theta}_n(z) $ から $ \tilde{\theta}_\ty{infty}(z) $ への収束は、$ \bbC $ のコンパクト集合上で分布の意味で成立し、カップリングによりほとんど確実な収束が保証される。これは、CUE エンsemble からの結果を置換に基づくモデルへと拡張するものである。