[論文レビュー] Characteristics, Conal Geometry and Causality in Locally Covariant Field Theory

Igor Khavkine|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 33被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論などの非線形方程式をもつ古典場理論における因果構造を幾何学的に定式化する枠組みを構築する。そのために、ローレンツ型因果構造の一般化としての錐多様体（conal manifolds）を導入する。この枠組みでは、ジャンクティルバンドルPDE理論、対称双曲型系、および共変位相空間手法を統合し、微分同相変換に対して共変な位相空間とシンプレクティック構造を構成する。LCFTの公理がこの設定において定理となることを証明し、量子重力における動的な因果構造の可能性を提起する。

ABSTRACT

The goal of this work, motivated by the desire to understand causality in classical and quantum gravity, is an in depth investigation of causality in classical field theories with quasilinear equations of motion, of which General Relativity is a prominent example. Several modern geometric tools (jet bundle formulation of partial differential equations (PDEs), the theory of symmetric hyperbolic PDE systems, covariant constructions of symplectic and Poisson structures) and applies them to the construction of the phase space and the algebra of observables of quasilinear classical field theories. This construction is shown to be diffeomorphism covariant (using auxiliary background fields if necessary) using categorical tools in a strong parallel with the locally covariant field theory (LCFT) formulation of quantum field theory (QFT) on curved spacetimes. In this context, generalized versions of LCFT axioms become theorems of classical field theory, which includes a generalized Causality property. Considering deformation quantization as the connection to QFT, a plausible conjecture is made about the Causal structure of quantum gravity. In the process, conal manifolds are identified as the generalization of the causal structure of Lorentzian geometry to quasilinear PDEs. Several important concepts and results are generalized from Lorentzian to conal geometry. Also, the proof of compatibility of the Peierls formula for Poisson brackets and the covariant phase space symplectic structure for hyperbolic systems is generalized to now encompass systems with constraints and gauge invariance.

研究の動機と目的

• 動的因果構造をもつ古典場理論、特に一般相対性理論のような非線形系に対して、摂動論を用いない幾何学的因果構造の定式化を展開すること。
• 動的場に依存する主記号をもつ非線形場理論に、局所的共変場理論（LCFT）の公理的枠組みを拡張すること。
• ジャンクティルバンドルと共変位相空間手法を用いて、そのような理論の共変的・微分同相変換不変な位相空間とポアソン構造の構成を確立すること。
• 制約とゲージ不変性を含む系に対しても、ペイエルズ公式と共変位相空間シンプレクティック構造の整合性を一般化すること。
• 古典的錐幾何と変形量子化および曲がった時空上の摂動的QFTを結びつけることで、量子重力における動的因果構造を提起すること。

提案手法

• ジャンクティルバンドル形式を用いて、古典場理論における偏微分方程式（PDE）の内的な幾何的記述を提供する。
• 対称双曲型PDE系の理論を応用し、非線形場理論の適切に定式化された位相空間を構築する。
• 共変位相空間手法を用いて、位相空間に自然なシンプレクティック構造を導入し、微分同相変換不変性と整合する。
• ペイエルズ公式を用いてポアソン括弧を導出し、制約やゲージ対称性が存在する場合でも、共変位相空間構成とその整合性を証明する。
• 非線形PDEの因果構造を記述するため、ローレンツ幾何の一般化としての錐多様体（conal manifolds）を導入する。
• 圏論的道具（極限と余極限）を用いて、微分同相変換共変的かつバックグラウンド依存性のない観測量と位相空間の構成を形式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論のように、背景計量によって固定されない因果構造をもつ古典場理論において、因果構造をどのように幾何学的に定式化できるか？
• RQ2 動的場に依存する主記号をもつ非線形PDEに対して、ローレンツ型因果構造の適切な一般化は何か？
• RQ3 方程式の運動が非線形である場合に、局所的共変場理論（LCFT）の公理が、古典場理論において定理として導けるか？
• RQ4 ゲージ対称性と制約が存在する状況で、ペイエルズ公式と共変位相空間手法がどのように調和できるか？
• RQ5 古典的重力における動的因果構造が、変形量子化の文脈において、量子重力の定式化にどのような影響を及えるか？

主な発見

• 非線形場理論における因果構造の自然な幾何的枠組みとして、錐多様体（conal manifolds）が導入され、ローレンツ幾何の一般化として機能する。
• 非線形古典場理論の位相空間とシンプレクティック構造の構成が、補助的バックグラウンド場が用いられても微分同相変換共変的であることが示された。
• 制約とゲージ不変性を含む系に対しても、ペイエルズ公式と共変位相空間シンプレクティック構造の整合性が一般化された。
• LCFTの公理、特に一般化された因果性の性質が、非線形系に適用された古典場理論において定理となる。
• 古典的重力で観察される動的因果構造が、量子重力でも保持されるとの妥当な予想が提示され、背景に依存しない非摂動的定式化が示唆された。
• 線形化重力における遅延および先行グリーン関数の特異性と台の構造が、単なるバックグラウンド計量ではなく、完全な動的計量に依存することが確認され、一般相対性理論における因果構造の動的性質が裏付けられた。