[論文レビュー] Characterization for entropy of shifts of finite type on Cayley trees

Jung‐Chao Ban, Chih-Hung Chang|arXiv (Cornell University)|May 9, 2017

Cellular Automata and Applications参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ケーリー木上の有限型木シフト（TSFT）の位相的エントロピーを計算するためのアルゴリズムを提示する。このエントロピーは、$ one$ がペロン数で、$p ∈ ℕ$ であるとき、$rac{1}{p}\ln\lambda$ の形をとることを示している。この手法は、非線形再帰的方程式系（SNRE）の縮小系から得られる隣接行列のスペクトル半径に依存し、1次元SFTエントロピーのリンドによる特徴付けを木シフトの文脈に拡張するものである。

ABSTRACT

The notion of tree-shifts constitutes an intermediate class in between one-sided shift spaces and multidimensional ones. This paper proposes an algorithm for computing of the entropy of a tree-shift of finite type. Meanwhile, the entropy of a tree-shift of finite type is $\dfrac{1}{p} \ln λ$ for some $p \in \mathbb{N}$, where $λ$ is a Perron number. This extends Lind's work on one-dimensional shifts of finite type. As an application, the entropy minimality problem is investigated, and we obtain the necessary and sufficient condition for a tree-shift of finite type being entropy minimal with some additional conditions.

研究の動機と目的

• ケーリー木上の有限型木シフト（TSFT）の位相的エントロピーの計算可能な特徴付けを開発すること。
• 1次元SFTエントロピーのリンドによる特徴付け（ペロン数に基づくもの）を、中間的な木シフトクラスへと拡張すること。
• 非線形再帰的方程式系（SNRE）の縮小系を用いた、TSFTエントロピーのアルゴリズム的計算手法を確立すること。
• 追加の構造的条件の下でのTSFTエントロピー最小化問題を調査すること。
• 任意の$ olimits$ がペロン数であるとき、$ olimits$ の形の数が、あるTSFTのエントロピーとして現れることを示すこと。

提案手法

• TSFTのエントロピーは、TSFTに関連するシステム $F$ から導かれるすべての縮小SNRE $E$ について、$\ln\lambda_{M_E}$ の最大値として計算される。
• システム $F$ は、ケーリー木の次数 $d$ を用いて、非線形再帰的方程式 $F^{(k+1)} = (a_{n-1}^{(k+1)})^d$ の形でモデル化される。
• 縮小SNRE $E$ は、辞書式順序における最小要素を特定することで構築され、エントロピーが部分系によって捉えられることを保証する。
• 隣接行列 $M_E$ は、縮小SNREの遷移規則から構成され、ブロック構造 $\begin{pmatrix} M & U \\ 0 & d \end{pmatrix}$ を持つ。ここで $U$ は分岐制約を符号化する。
• 行列 $M_E$ のスペクトル半径 $\lambda_{M_E}$ が $h(X) = \ln\lambda_{M_E}$ によりエントロピーを決定し、全エントロピーは、このようなすべての $M_E$ における最大値として得られる。
• 与えられたエントロピー $ olimits$ を持つTSFT $X = \mathsf{X}_\mathcal{F}$ を構成するための構成的技法が提示される。これは、SNRE構造から禁止集合 $\mathcal{F}$ を定義することにより実現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーリー木上の有限型木シフトの位相的エントロピーの代数的特徴付けは何か？
• RQ2 TSFTのエントロピーはアルゴリズム的に計算可能か？ もしそうなら、その方法は何か？
• RQ3 TSFTエントロピーのクラスは、ペロン数の対数の有理数倍をすべて含むか？
• RQ4 どのような条件下でTSFTエントロピーが最小となり、その特徴付けは可能か？
• RQ5 任意の$ olimits$ がペロン数であるとき、$ olimits$ の形の数が、あるTSFTのエントロピーとして実現可能か？

主な発見

• すべてのTSFTの可能なエントロピーの集合は、ちょうど $\left\{ \frac{1}{p}\ln\lambda \mid \lambda \text{ はペロン数}, p \in \mathbb{N} \right\}$ に一致する。これは、1次元SFTのリンドの結果を一般化するものである。
• TSFTのエントロピーは $h(X) = \max\left\{ \ln\lambda_{M_E} \mid E \text{ は } F \text{ の縮小SNRE} \right\}$ で与えられる。ここで $F$ はTSFTに関連する非線形再帰的方程式系である。
• エントロピーは元のシステムの部分系で達成され、これは縮小SNRE構造における単一の非可約成分が複雑性を支配することを意味する。
• 任意のペロン数 $\lambda$ と任意の $p \in \mathbb{N}$ に対して、エントロピーが $ olimits$ であるTSFTが存在する。これは、特徴付けの完全性を示している。
• このようなTSFTの構成は明示的である：非負で非可約な整数行列 $M$ でスペクトル半径が $\lambda^{1/p}$ であるものを与えると、対応する禁止集合 $\mathcal{F}$ を定義することで、エントロピー $ olimits$ を実現できる。
• 例として、$3 \times 3$ 行列 $M$ から $4 \times 4$ 行列 $V$ を構成し、その結果得られるSNRE系が、エントロピー $\ln\lambda$（$\lambda$ は $M$ のスペクトル半径）を持つTSFTを生成することを示している。