[論文レビュー] Characterization of $1$-almost greedy bases

Fernando Albiac, José L. Ansorena|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Banach空間における1-ほぼグリーディー基底の完全な特徴付けを、Property (A) を導入し、それがまさにそれらの基底が有する性質であることを示すことによって達成している。この結果により、AlbiacとWojtaszczyk（2006年）が開始し、Albiac、Ansorenaらが継続した、グリーディーに似た基底の等長的特徴付けの系列が完結する。1-グリーディー基底であるための必要十分条件は、1-ほぼグリーディーかつ1-準グリーディーであることであることが示された。

ABSTRACT

This article closes the cycle of characterizations of greedy-like bases in the isometric case initiated in [F. Albiac and P. Wojtaszczyk, Characterization of $1$-greedy bases, J. Approx. Theory 138 (2006)] with the characterization of $1$-greedy bases and continued in [F. Albiac and J. L. Ansorena, Characterization of $1$-quasi-greedy bases, arXiv:1504.04368v1 [math.FA] (2015)] with the characterization of $1$-quasi-greedy bases. Here we settle the problem of providing a characterization of $1$-almost greedy bases in Banach spaces. We show that a (semi-normalized) basis in a Banach space is almost greedy with almost greedy constant equal to $1$ if and only if it has Property (A). This fact permits now to state that a basis is $1$-greedy if and only if it is $1$-almost greedy and $1$-quasi-greedy. As a by-product of our work we also provide a tight characterization of almost greedy bases.

研究の動機と目的

• グリーディーに似た基底の等長的特徴付けの系列を完結させることを目的とし、1-ほぼグリーディー基底を完全に特徴付けること。
• 基底が1-ほぼグリーディーであるための必要十分条件がProperty (A) を満たすことであることを確立すること。
• 1-グリーディー、1-準グリーディー、1-ほぼグリーディー基底の間の関係を明確にすること。
• Property (A) を統一的基準として用いて、ほぼグリーディー基底をきめ細かく特徴付けること。
• 結果の有効性をSchauder基底に限らず、一般の半正規化可能で有界な双対基底系へと拡張すること。

提案手法

• Banach空間における基底に対してProperty (A) を導入し定義する。これは、符号を伴う基底要素の集合の和のノルムに関係する条件である。
• 各元 x ∈ X に対して自然なグリーディー順序を用い、m番目のグリーディー近似 G_m(x) を定義する。
• 特に定数が最適となる1ケースに注目した、民主的かつ無条件基底の理論を応用する。
• 双対性およびノルムの再定規格化技術を用いて、グリーディー・アルゴリズムの振る舞いと近似誤差を分析する。
• 1-グリーディーおよび1-準グリーディー基底の既存の特徴付けを活用し、1-ほぼグリーディー基底とProperty (A) の同値性を導出する。
• Schauder基底に限らず、一般の半正規化可能で有界な双対基底系の文脈においても結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Banach空間における1-ほぼグリーディー基底の完全な等長的特徴付けは何か？
• RQ2 1-ほぼグリーディー定数が1のとき、Property (A) はほぼグリーディー性とどのように関係するか？
• RQ3 1-グリーディー基底のクラスは、1-ほぼグリーディーと1-準グリーディー基底の共通部分として完全に特徴付けられるか？
• RQ4 Property (A) は、基底が1-ほぼグリーディーであるための十分かつ必要条件か？
• RQ5 この特徴付けは、Schauder基底を越えて一般の有界な双対基底系へと拡張可能か？

主な発見

• Banach空間における基底が1-ほぼグリーディーであるための必要十分条件は、Property (A) を有することである。
• 1-グリーディー定数が1であることは、基底が1-ほぼグリーディーかつ1-準グリーディーであることに同値である。
• Property (A) は、基底が1-ほぼグリーディーであるための必要十分条件であり、きめ細かな特徴付けを提供する。
• 1-ほぼグリーディー基底の特徴付けにより、AlbiacとWojtaszczyk（2006年）が開始し、Albiac、Ansorenaらが拡張した等長的分類プログラムが完結する。
• 結果はSchauder基底に限らず、一般の半正規化可能で有界な双対基底系に対しても成立する。
• Property (A) が成立しないと、1-格子無条件かつ1-スーパー民主的であっても、基底が1-ほぼグリーディーにはなり得ないことが、先行研究の反例によって示されている。