[論文レビュー] Characterization of barycenters in the Wasserstein space by averaging optimal transport maps

Jérémie Bigot, Thierry Klein|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2012

Point processes and geometric inequalities参考文献 31被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、2-ワサーラインスト距離空間における確率測度の確率的集合の母集団重心を、最適輸送写像の期待値による基準測度のプッシュフォワードとして特定することで、その等価性を示している。双対性とコンパクトな台の仮定を用いて、最適輸送写像の平均化がフレシェ重心をもたらすことを証明し、標本重心の概収率を確立するとともに、可変的モデルを用いた信号および画像処理への応用を可能にする。

ABSTRACT

This paper is concerned by the study of barycenters for random probability measures in the Wasserstein space. Using a duality argument, we give a precise characterization of the population barycenter for various parametric classes of random probability measures with compact support. In particular, we make a connection between averaging in the Wasserstein space as introduced in Agueh and Carlier (2011), and taking the expectation of optimal transport maps with respect to a fixed reference measure. We also discuss the usefulness of this approach in statistics for the analysis of deformable models in signal and image processing. In this setting, the problem of estimating a population barycenter from n independent and identically distributed random probability measures is also considered.

研究の動機と目的

• コンパクトな台の仮定の下で、2-ワサーラインスト距離空間における確率的測度の母集団重心を特徴づけること。
• 固定された基準測度に関する最適輸送写像の期待値と、ワサーラインスト距離空間における重心計算との間の関係を確立すること。
• 独立同一分布に従う測度の標本から重心の統計的推定の理論的基盤を提供すること。
• 可変的モデルおよび曲線／画像の変形を伴う信号および画像処理への応用に、この枠組みを拡張すること。
• 標本重心の収束性を検討し、母集団重心への概収率を証明すること。

提案手法

• 双対性の議論を用いて、母集団重心を基準測度を期待値をとった最適輸送写像によるプッシュフォワードとして特徴づける。
• コンパクト集合 Ω ⊂ ℝd 上の密度を持つパラメトリック族 μθ = Φ(θ) を定義する。
• 重心 μ∗ を Fréchet汎関数 J(ν) = ∫½d²W₂(ν, μ)dℙg(μ) の最小化子として表現する。
• 標本過程の一様収束を適用して、標本重心が母集団重心に概収率することを示す。
• ワサーラインスト距離空間 (ℳ₊(Ω), dW₂) のコンパクト性に依存して、標本重心の逐次収束を保証する。
• 一様次元の場合、特にコンパクトでない台に対しても、分位数関数および逆CDFの期待値を用いて結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワサーラインスト距離空間における母集団重心は、最適輸送写像を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 最適輸送写像の平均化とワサーラインスト距離空間における重心の計算の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 標本重心が母集団重心に概収率するための条件は何か？
• RQ4 パラメトリック族の測度の重心は、期待値をとった輸送写像による基準測度のプッシュフォワードとして表現可能か？
• RQ5 この枠組みは、特に一様次元において、コンパクトでない台を持つ測度へとどのように拡張可能か？

主な発見

• 母集団重心 μ∗ は、基準測度 μ₀ を期待値をとった最適輸送写像 Tθ によるプッシュフォワードとして等価であり、すなわち μ∗ = T₀∗𝔼[Tθ] が成り立つ。
• 標本重心は2-ワサーラインスト距離において母集団重心に概収率する。すなわち、limₙ→∞ dW₂(μ̄ₙ, μ∗) = 0 a.s. が成り立つ。
• 収束は、ℳ₊(Ω) 上で Δₙ(ν) = Jₙ(ν) − J(ν) が一様にゼロに収束することによって確立される。
• コンパクトでない台を持つ一様次元の場合、重心は分位数関数 F⁻¹_μ∗(y) = 𝔼[F⁻¹_μθ(y)] によって特徴づけられる。
• 期待値をとった最適輸送写像による特徴づけは、信号および画像処理における重心推定の実用的かつ統計的に一貫した手法を提供する。
• この結果は、μθ の台がコンパクト集合 Ω ⊂ ℝd に含まれるという仮定の下で成り立つ。この仮定により収束に必要なコンパクト性が保証される。