[論文レビュー] Characterization of circulant graphs having perfect state transfer

Milan Bašić|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、完全状態転送（PST）を示す整数巡回グラフ（ICGₙ(D)）の完全な特徴付けを提供し、PSTが発生するのは n ∈ 4ℕ であり、かつ D が n/d ∈ 8ℕ、8ℕ+4、および n/2 や n/4 の包含を含む特定の整除条件を満たす場合に限ることを証明している。主な貢献は、このようなグラフの数を求める閉形式の公式と、PST を示す ICGₙ(D) の完全なスペクトル解析である。

ABSTRACT

In this paper we answer the question of when circulant quantum spin networks with nearest-neighbor couplings can give perfect state transfer. The network is described by a circulant graph $G$, which is characterized by its circulant adjacency matrix $A$. Formally, we say that there exists a {\it perfect state transfer} (PST) between vertices $a,b\in V(G)$ if $|F(τ)_{ab}|=1$, for some positive real number $τ$, where $F(t)=\exp(ıAt)$. Saxena, Severini and Shparlinski ({\it International Journal of Quantum Information} 5 (2007), 417--430) proved that $|F(τ)_{aa}|=1$ for some $a\in V(G)$ and $τ\in \R^+$ if and only if all eigenvalues of $G$ are integer (that is, the graph is integral). The integral circulant graph $\ICG_n (D)$ has the vertex set $Z_n = \{0, 1, 2, ..., n - 1\}$ and vertices $a$ and $b$ are adjacent if $\gcd(a-b,n)\in D$, where $D \subseteq \{d : d \mid n,\ 1\leq d

研究の動機と目的

• アンドレアス＝カヌルら（2010年）が提起した、完全に特徴付けられた整数巡回グラフ（ICGₙ(D)）が完全状態転送（PST）を許容するという未解決問題を解消すること。
• ICGₙ(D) の頂点間でPSTが発生するための、n の約数の集合 D における正確な条件を特定すること。
• このようなグラフにおける完全量子通信距離（PST を示す頂点間の最大距離）を計算すること。
• 与えられた次数 n に対して、PST をサポートする ICGₙ(D) グラフの数を閉形式で導出すること。
• PST を示す ICGₙ(D) グラフのスペクトル特性を分析し、数論的性質と量子ダイナミクスの関連を明らかにすること。

提案手法

• 近接スピン結合を有する量子スピンネットワークをモデル化するため、巡回隣接行列およびそのスペクトル特性の使用。
• 特にラマヌジャン和 c(j, m) を用いた、ICGₙ(D) の固有値解析のための数論的関数の応用。
• 集合 D を3つの互いに素な部分集合に分解：D₁ = 2(D₂∖{n/4})、D₂ = {d ∈ D | n/d ∈ 8ℕ+4}∖{n/4}、D₃̃ = {d ∈ D | n/d ∈ 8ℕ}。
• ラマヌジャン和および合同算術（例：j/2 が奇数のとき c(j/2, n₁/d) = 0）の性質を活用し、固有値の表現を導出。
• ラマヌジャン和および固有値の偶奇に関する補題を用いて、λⱼ ∈ 4ℕ+2（j ∈ 2ℕ のとき）であることを証明し、PST 条件を満たすことを保証。
• n mod 8 に基づく約数関数 τ(n) および部分集合の濃度を用いた、閉形式の数え上げ公式の導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数巡回グラフ ICGₙ(D) が完全状態転送を示すための、約数の集合 D の条件は何か？
• RQ2 ICGₙ(D) グラフにおける最大の完全量子通信距離（PST を示す頂点間の距離）は何か？
• RQ3 次数 n の ICGₙ(D) グラフのうち、PST をサポートするものはいくつであり、その数は閉形式で表せるか？
• RQ4 PST を許容する ICGₙ(D) グラフを特徴付けるスペクトル的性質は何か？
• RQ5 ICGₙ(D) における PST の特徴付けは、重み付きまたは非一様結合の巡回グラフへ拡張可能か？

主な発見

• ICGₙ(D) における完全状態転送は、n ∈ 4ℕ であり、かつ D = D̃₃ ∪ D₂ ∪ 2D₂ ∪ 4D₂ ∪ {n/2^a}（a ∈ {1,2}）である場合に限り発生する。ここで D̃₃ および D₂ は、n/d に関する整除条件によって定義される。
• PST を示す任意の ICGₙ(D) において、最大の完全量子通信距離は、すべての n ∈ 4ℕ に対して正確に 2 である。
• PST をサポートする次数 n の ICGₙ(D) グラフの数は、|ICGₙ(D)| = 2^{τ(n/4)}（n ∈ 8ℕ+4 のとき）、および |ICGₙ(D)| = 2^{τ(n/8) ⋅ τ(n/2^{S₂(n)})}（n ∈ 8ℕ のとき）で与えられる。ここで τ は約数関数を表す。
• PST を示す ICGₙ(D) グラフのすべての固有値は整数であり、j ∈ 2ℕ のとき、固有値 λⱼ は集合 4ℕ+2 に属する。
• n ∈ 4ℕ のとき、ICGₙ(D∖{n/2}) のクラスはカクテルパーティー・グラフに対応し、PST をサポートすることが示された。
• PST をサポートする ICGₙ(D) グラフの数は、次数 n の ICGₙ(D) グラフの総数に対して漸近的に比例し、その密度は消えないまま維持される。