[論文レビュー] Characterization of Cobweb Posets as KoDAGs

Ewa Krot-Sieniawska|ArXiv.org|Feb 21, 2008

Data Management and Algorithms参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、整数列によって定義される一般化されたposet（偏順序集合）であるコブウェブposetを、順序付け可能な有向無閉路グラフ（KoDAG）として特徴づけ、2つの線形拡張を用いた次元2表現が可能であることを証明する。明示的な線形拡張XとYを構成することで、任意のコブウェブposetのハッセ図が、これらの2つの鎖の共通部分であることが示され、それがKoDAGとしての構造を有することを確立する。

ABSTRACT

The characterization of the large family of cobweb posets as DAGs and oDAGs is given. The dim 2 poset such that its Hasse diagram coincide with digraf of arbitrary cobweb poset is constructed.

研究の動機と目的

• 整数列 {Fₙ} で定義され、F₀ = 1 を満たす任意のコブウェブposetが、順序付け可能な有向無閉路グラフ（oDAG）であることを確立すること。
• 任意のコブウェブposetが、その部分順序の2つの線形拡張の共通部分として表現可能であることを示すこと。
• コブウェブposetのハッセ図が、KoDAGであるための必要十分条件を満たしていることを検証すること。
• コブウェブposetを次元2表現として実現する2つの線形拡張（X と Y）を構成的に生成する方法を提供すること。

提案手法

• F₀ = 1 を満たす数列 {Fₙ} を用いて、要素が 1 ≤ j ≤ Fₛ を満たすペア ⟨j,s⟩ からなるコブウェブposet Π = (V, ≤) を定義する。
• ハッセ図を、1 ≤ j ≤ Fₚ および 1 ≤ q ≤ Fₚ₊₁ を満たすエッジ (⟨j,p⟩, ⟨q,(p+1)⟩) と初期エッジ (⟨1,0⟩, ⟨1,1⟩) を含むDAGとして構築する。
• n < m+1 のときエッジ (⟨i,n⟩, ⟨j,m⟩) が存在しないことを示すことで、posetが正則であることを証明する。これにより、冗長なパスが生じない。
• 2つの線形拡張を定義する：X は (t < v) ∨ (t = v ∧ s ≤ u) の順序に従い、Y は (t < v) ∨ (t = v ∧ s ≥ u) の順序に従う。両方とも鎖を形成する。
• Plotnikovの定理2を用いて、正則なDAGがoDAGであるための必要十分条件が、頂点が許容形式で表現可能であることであることを示す。
• poset Π が2つの線形順序の共通部分であることを示す：Π = X ∩ Y であり、これによりΠがKoDAGであることが証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のコブウェブposetは、2つの線形拡張の共通部分として次元2posetとして表現可能か？
• RQ2 コブウェブposetのハッセ図が順序付け可能なDAG（oDAG）であるための条件は何か？
• RQ3 コブウェブposetのハッセ図は正則であり、許容形式で表現可能か？
• RQ4 コブウェブposetをKoDAGとして実現する2つの線形拡張XとYの明示的構成法は何か？
• RQ5 二部完全有向グラフ（二重完全二部有向グラフ）の鎖は、コブウェブposetがKoDAGとして持つ構造とどのように関係しているか？

主な発見

• F₀ = 1 を満たす数列 {Fₙ} で定義される任意のコブウェブposet Π = (V, ≤) は、oDAGに必要な正則性条件を満たす正則DAGである。
• 任意のコブウェブposetのハッセ図は、(t < v) ∨ (t = v ∧ s ≤ u) で定義される鎖Xを用いて許容形式で表現可能である。
• もう一つの線形拡張Yが存在し、(t < v) ∨ (t = v ∧ s ≥ u) で定義される。このとき、部分順序Πは共通部分Π = X ∩ Y として表される。
• XとYの構成は、Plotnikovの定理2の条件を満たしており、ΠがoDAG（よってKoDAG）であることを証明する。
• したがって、poset Π は2つの部分順序の線形拡張の共通部分として特徴づけられ、その構造は完全に決定される。
• この結果により、フィボナッチコブウェブposetを含む任意のコブウェブposetがKoDAGであることが確認され、順序付け可能なDAGの概念が広範な組合せ的構造へと一般化される。