[論文レビュー] Characterization of CR-functions by analytic extensions from curves and CR-extensions of boundary foliations

Mark Agranovsky|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2005

Holomorphic and Operator Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、Cにおける滑らかな領域およびC²における超曲面におけるCR関数を、付着する解析的円板への解析接続を通じて特徴づける。Cにおける正則関数のストリップ問題を解き、関数の正則関数空間への属する条件が、1パラメータ族のジョルダン曲線への解析的接続可能性と同値であることを示す。さらに、C²における超曲面上のCR関数へとその結果を拡張し、GlobevnikとStoutによる高次元における正則関数の境界値に関する予想を証明する。

ABSTRACT

Abstract. A characterization of CR − functions in terms of analytic extensions into attached analytic discs is obtained for smooth functions defined in domains in C or on smooth hypersurfaces in C 2. The first result, for domains in the plane, solves, under certain regularity conditions, an open problem on characterization of analytic functions in C in terms of analytic extendabitlty into one-dimensional family of Jordan curves (strip-problem). The second result, for the case when Ω is a hypersurface in C 2, gives a characterization of CR − functions on such hypersurfaces by analytic extensions in arbitrary generic families of attached analytic discs. Applying this result to 2-dimensional complex sections, proves, for smooth functions, a conjecture of Globevnik and Stout about characterization of boundary values of holomorphic functions in bounded domains in C n, n ≥ 2, in terms of analytic extendability into cross-sections by complex lines tangent to a fixed hypersurface. 1. Formulation of the problem, the main results and comments. 1.1. The results of this article are related to the following general problem: Let Ω ⊂ C n be a CR − manifold of real dimension k, and let D be a family of analytic

研究の動機と目的

• Cにおける滑らかな領域およびC²における超曲面上のCR関数を、付着する解析的円板への解析的接続を用いて特徴づける。
• Cにおける正則関数の特徴づけに関する未解決問題（ストリップ問題）を解き、1次元のジョルダン曲線族への接続可能性による特徴づけを明らかにする。
• これらの結果を、n ≥ 2 におけるC^nの有界領域のような高次元設定へと拡張する。
• GlobevnikとStoutが提起した、固定された超曲面に接する複素直線への解析的接続を用いた正則関数の境界値の特徴づけに関する予想を証明する。
• CR理論と解析的円板族に沿った解析的接続性の性質を結びつける一般枠組みを確立する。

提案手法

• CR多様体に付着する解析的円板の理論を用いて、CR関数の接続性を研究する。
• 境界および曲線／円板族に正則性条件を課し、適切に定義された解析的接続を保証する。
• 特にC²における解析的円板族への正則関数の接続を研究する複素解析およびCR幾何学の技法を用いる。
• C^nにおける領域の2次元複素断面における関数の振る舞いに問題を還元し、固定された超曲面に接する複素直線の幾何を活用する。
• 一般的族としての解析的円板の構造を用いて、境界挙動および接続性を特徴づけることで、CR関数を特徴づける。
• 解析的円板の手法を用いて、このような族への解析的接続をもつ関数は必ずCR関数であり、逆にCR関数であれば同様の接続性をもつことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cにおける正則関数は、1パラメータ族のジョルダン曲線への解析的接続可能性によって特徴づけられるか？
• RQ2 付着する解析的円板族への解析的接続は、C²における滑らかな超曲面上のCR構造とどのように関係するか？
• RQ3 C²における超曲面上の滑らかな関数が、解析的円板への接続性に基づいてCR関数であると保証されるための条件は何か？
• RQ4 C^n（n ≥ 2）における正則関数の境界値は、固定された超曲面に接する複素直線への解析的接続性によって、どの程度特徴づけられるか？
• RQ5 一般的族としての解析的円板への解析的接続性は、C²における実次元kの滑らかなCR多様体上のCR関数を完全に特徴づけるか？

主な発見

• 本稿は、適切な正則性条件のもとで、Cにおける正則関数が1パラメータ族のジョルダン曲線への解析的接続可能性によって特徴づけられることを示し、Cにおけるストリップ問題を解決する。
• C²における滑らかな超曲面上では、CR関数は任意の一般的族の付着する解析的円板への解析的接続性によって完全に特徴づけられる。
• C²における解析的円板の結果を2次元複素断面に応用し、そのような断面上の滑らかな関数が、有界領域C^n（n ≥ 2）における正則関数の境界値であるための必要十分条件が、固定された超曲面に接する複素直線への解析的接続性をもつことであることを証明する。
• 解析的円板による特徴づけは、C²における滑らかな超曲面上のCR関数に対して、関数論と複素幾何を結ぶ幾何的基準を提供する。
• 本手法により、GlobevnikとStoutによる予想（n ≥ 2 におけるC^nにおける正則関数の境界値が、固定された超曲面に接する複素直線への解析的接続性によって特徴づけられること）が裏付けられる。
• 結果として、境界への接続問題の可解性と、境界に付着する解析的円板族の幾何的構造との強い関係が確立される。