[論文レビュー] Characterization of Determinantal Bivariate Polynomials

Papri Dey|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2017

Advanced Optimization Algorithms Research被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、bivariate多項式の確定的行列式表現の存在について、正交確率行列を介したスカラー積として係数を表現することにより、必要十分条件を提示する。これにより、モニック対称／ヘルミート行列式表現の計算が可能となり、行列式問題の凸緩和が導入され、特定のクラスの行列式bivariate多項式の係数ベクトルの範囲が特徴づけられる。

ABSTRACT

Determinantal polynomials play a crucial role in semidefinite programming problems. Helton-Vinnikov proved that real zero (RZ) bivariate polynomials are determinantal. However, it leads to a challenging problem to compute such a determinantal representation. We provide a necessary and sufficient condition for the existence of definite determinantal representation of a bivariate polynomial by identifying its coefficients as scalar products of two vectors where the scalar products are defined by orthostochastic matrices. This alternative condition enables us to develop a method to compute a monic symmetric/Hermitian determinantal representations for a bivariate polynomial of degree $d$. In addition, we propose a computational relaxation to the determinantal problem which turns into a problem of expressing the vector of coefficients of the given polynomial as convex combinations of some specified points. We also characterize the range set of vector coefficients of a certain type of determinantal bivariate polynomials.

研究の動機と目的

• bivariate多項式の確定的行列式表現の必要十分条件を確立すること。
• モニック対称またはヘルミート行列式表現を構築する計算手法を開発すること。
• 係数ベクトルを指定された点の凸結合として表現することにより、行列式問題の凸緩和を導入すること。
• 特定のクラスの行列式bivariate多項式の係数ベクトルの範囲集合を特徴づけること。

提案手法

• bivariate多項式の係数を、正交確率行列を用いた二つのベクトルのスカラー積として表現する。
• 正交確率行列の構造を用いて、確定的行列式表現の必要十分条件を導出する。
• 係数ベクトルを固定点の凸結合として表現することにより、行列式表現問題を凸緩和として定式化する。
• 対称性と直交性の性質を活用して、モニック対称またはヘルミート表現を構築する。
• 実零点多項式に関する既知の結果とHelton-Vinnikovの定理を、基礎的制約として適用する。
• 正交確率行列による制約の下で多項式写像の像を分析することにより、係数ベクトルの範囲を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 bivariate多項式が確定的行列式表現をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 与えられたbivariate多項式に対して、アルゴリズム的にモニック対称またはヘルミート行列式表現を計算する方法は何か？
• RQ3 行列式表現問題の凸緩和とは何か、そして係数ベクトル構造とどのように関係するか？
• RQ4 どのような係数ベクトルが特定のタイプの行列式bivariate多項式から生じるか？
• RQ5 特定クラスの行列式bivariate多項式の係数ベクトルの幾何的範囲は何か？

主な発見

• bivariate多項式が確定的行列式表現をもつのは、その係数が正交確率行列によって定義されるスカラー積として表現できる場合に限る。
• 本手法により、任意の次数dのbivariate多項式について、モニック対称またはヘルミート行列式表現を明示的に計算可能である。
• 行列式問題は凸結合問題に緩和され、解の存在を確認する線形計画法型の実行可能性問題に変換される。
• 特定のクラスの行列式bivariate多項式の係数ベクトルの範囲は、正則な写像の像として、正確率行列による制約の下で完全に特徴づけられる。
• この特徴づけにより、このような行列式多項式から生じる係数ベクトルの集合について、完全な代数的および幾何的記述が得られる。