[論文レビュー] Characterization of Hida Measures in white noise analysis

Nobuhiro Asai, Izumi Kubo+1 more|ArXiv.org|Apr 12, 2001

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、無限次元解析におけるヒーダ測度（一般化されたホワイトノイズ測度）の特徴づけ定理を、Legendre変換を介して成長関数と関連付けることで確立する。測度がヒーダ測度であるための必要十分条件は、成長関数 $ u $ のLegendre変換を用いた特定の指数的積分性条件を満たすことであると示され、ポアソン測度およびグレイノイズ測度への応用が示される。

ABSTRACT

The main purpose of this work is to prove Theorem 4.4, so-called, the characterization theorem of Hida measures (generalized measures). As examples of such measures, we shall present the Poisson noise measure and the Grey noise measure in Example 4.5 and 4.6, respectively.

研究の動機と目的

• ホワイトノイズ解析の文脈において、ヒーダ測度（一般化測度）を完全に特徴づけること。
• 成長関数とそのLegendre変換を用いて、測度がヒーダ測度であるための必要十分条件を確立すること。
• この特徴づけが、ポアソンおよびグレイノイズ測度などの具体的な例にどのように適用できるかを示すこと。
• 成長関数が (U0)、(U2)、(U3) を満たす場合に、Gel'fand三重対の構成に基づいて一般化されたホワイトノイズ測度の枠組みを統一すること。

提案手法

• 成長関数 $ u \in C_{+,{1\over 2}} $ として、(U0)、(U2)、(U3) を満たす正の連続関数の族を導入し、テスト関数空間上の重み付きノルムを定義する。
• 成長関数 $ u $ のLegendre変換 $ \ell_u $ を用いて、核的かつ連続なGel'fand三重対 $[\mathcal{E}]_u \subset (L^2) \subset [\mathcal{E}]_u^*$ を構成する。
• $[\mathcal{E}]_u$ を、ノルムに $ \ell_u(n) $ を含む重み付き $ L^2 $ 型空間 $[\mathcal{E}_p]_u $ の射影極限として定義する。
• テスト関数として正規化された指数関数 $ :e^{\langle \cdot, \xi \rangle}: $ を用い、Legendre変換を適用して積分性を分析する。
• ノルム $ \|\cdot\|_{\mathcal{A}_{p,u}} $ と $ \|\cdot\|_{p,u} $ の等価性を応用し、一般化関数の連続性条件を導出する。
• Legendre変換と凸性の性質を用いて、測度の指数的積分性条件を導出し、主たる特徴づけに至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホワイトノイズ解析の枠組みにおいて、測度がヒーダ測度であることを保証する条件は何か？
• RQ2 成長関数 $ u $ のLegendre変換を用いて、一般化測度の積分性をどのように特徴づけられるか？
• RQ3 ヒーダ測度を成長関数 $ u $ の観点から特徴づける、正確な指数的積分性条件は何か？
• RQ4 ポアソンおよびグレイノイズ測度といった既知の例は、この特徴づけ枠組みにどのように適合するか？
• RQ5 $ u $ に関する測度の積分性と双対空間 $[\mathcal{E}]_u^*$ の関係は何か？

主な発見

• 主たる結果、定理4.4は、測度 $ \nu $ がヒーダ測度であるための必要十分条件を確立する：ある $ p $ に対して $ \int_{{\cal E}^\prime} u(|x|_{-p}^2)^{1/2} d\nu(x) < \infty $ が成り立つこと。
• この特徴づけは、すべての $ \varphi \in [\mathcal{E}]_u $ に対して $ \langle\!\langle \widetilde{\nu}, \varphi \rangle\!\rangle = \int_{{\cal E}^\prime} \varphi(x) d\nu(x) $ を満たす一般化関数 $ \widetilde{\nu} \in [\mathcal{E}]_u^* $ の存在と同値である。
• ポアソンノイズ測度 $ \mathcal{P} $ に対して、ある $ p $ に対して $ \int_{{\cal E}^\prime_p} \exp\bigl( |x|_{-p} \sqrt{\log|x|_{-p}} \bigr) \mathcal{P}(dx) < \infty $ が成り立つ。これは、$ \mathcal{P} $ がヒーダ測度であることを確認する。
• グレイノイズ測度 $ \nu_\lambda $ に対して、ある $ p $ に対して $ \int_{{\cal E}^\prime_p} \exp\bigl( \frac{1}{2}(2-\lambda)|x|_{-p}^{2/(2-\lambda)} \bigr) \nu_\lambda(dx) < \infty $ が成り立つ。これにより、$ \nu_\lambda $ がヒーダ測度であることが裏付けられる。
• 証明は、適切な解析関数 $ \theta(x) = \mathcal{L}_u(2^{-4}|x|_{-q}^2) $ の構成と、ノルムの等価性を用いた積分性条件の導出に依拠している。
• この結果により、$ u $ のLegendre変換 $ \mathcal{L}_u $ が $ u(r) \leq C \mathcal{L}_u(4r) $ を満たすことが確認され、これが積分を抑えるために不可欠である。