[論文レビュー] Characterization of substitution invariant 3iet words

Peter Baláži, Zuzana Masáková+1 more|ArXiv.org|Sep 17, 2007

semigroups and automata theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、3文字のSturmian語への一般化である置換不変3iet語を、そのパラメータ（勾配ε、切片c、区間長l）に対する必要十分条件を導出することによって特徴づける。置換不変性が成り立つための条件は、特定の自己写像を介して得られる2つの関連するSturmian語がそれぞれ置換不変であることと同値であり、代数的数論および区間交換力学を用いて、2文字のSturmian語に関する既知の結果を3文字の場合に拡張する。

ABSTRACT

We study infinite words coding an orbit under an exchange of three intervals which have full complexity $\C(n)=2n+1$ for all $n\in\N$ (non-degenerate 3iet words). In terms of parameters of the interval exchange and the starting point of the orbit we characterize those 3iet words which are invariant under a primitive substitution. Thus, we generalize the result recently obtained for sturmian words.

研究の動機と目的

• 非退化な3iet語（置換(321)を伴う）に対して、置換不変Sturmian語の特徴づけを拡張すること。
• 3iet語のパラメータ（勾配ε、切片c、長さl）が原始的置換に関して不変であるための必要十分条件を特定すること。
• 3iet語の置換不変性と関連する2つのSturmian語の置換不変性との関係を確立すること。

提案手法

• 3つの区間と置換(321)を持つ区間交換変換（IET）の枠組みを用いる。パラメータはα₁、α₂、α₃で定義される。
• 3iet語をSturm数ε = α₂ + α₃を用いて表現し、α₁ + α₂とα₂ + α₃がℚ上線形独立であることを仮定する。
• 写像σ₀₁とσ₁₀を適用して、それぞれ勾配εと1−εのSturmian語に3iet語を写像する。
• 代数的数論を適用：切片cと長さlがℚ(ε)に属することを要請し、Galois共役を用いてc′とl′に関する不等式を導出する。
• 補題6.1と6.2を用いて、特定の力学的性質を満たすスケーリング因子Λ ∈ ℤ[ε]を構成し、置換不変性を保証する。
• 置換による軌道の不変性を用いて、cとlのGalois共役に関する必要不十分な不等式を導出し、最終的な特徴づけに至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非退化な3iet語が原始的置換に関して不変であるためのパラメータε、c、lの条件は何か？
• RQ2 3iet語の置換不変性は、関連するSturmian語の置換不変性とどのように関係するか？
• RQ3 代数的数論的性質—特に体ℚ(ε)とGalois共役—は、3iet語の置換不変性を決定づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 3iet語が原始的置換に関して不変であるための必要十分条件は、勾配ε、切片−cのSturmian語が置換不変であることである。
• 3iet語が原始的置換に関して不変であるための必要十分条件は、勾配1−ε、切片ℓ+cのSturmian語が置換不変であることである。
• パラメータcとlは、εがSturm数である二次体ℚ(ε)の整数環に属している必要がある。
• cとlのGalois共役c′とl′は、不等式ε′ ≤ c′ + l′ ≤ 1 − ε′およびε′ ≤ −c′ ≤ 1 − ε′を満たす必要がある。ここでε′はSturm数εの共役である。
• この特徴づけは、特定の力学的および代数的性質を満たすスケーリング因子Λ ∈ ℤ[ε]の存在と同値である。
• 写像に基づく還元を用いて、Yasutomiによる置換不変Sturmian語の特徴づけを3ietの場合に一般化した結果が得られる。