[論文レビュー] Characterization of Tangent Cones of Noncollapsed Limits with Lower Ricci Bounds and Applications

Tobias Colding, Aaron Naber|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、リッチ曲率下界付きのリーマン多様体の非崩壊的Gromov-Hausdorff極限における接錐の集合を特徴づけ、このような接錐の断面として現れる滑らかな多様体の族が満たすべき必要十分条件を提示する。非一意的かつ相対的に同相でない接錐を有する新しい極限空間を構成し、特に5次元の例として $\mathbb{C}P^2\sharp\overline{\mathbb{C}P}^2$ および $S^4$ を底面とする錐を含むものであり、ユークリッド接錐の挙動による層化はwell-definedでないことを示している。

ABSTRACT

Consider a limit space $(M_α,g_α,p_α)\stackrel{GH}{ ightarrow} (Y,d_Y,p)$, where the $M_α^n$ have a lower Ricci curvature bound and are volume noncollapsed. The tangent cones of $Y$ at a point $p\in Y$ are known to be metric cones $C(X)$, however they need not be unique. Let $\barΩ_{Y,p}\subseteq\cM_{GH}$ be the closed subset of compact metric spaces $X$ which arise as cross sections for the tangents cones of $Y$ at $p$. In this paper we study the properties of $\barΩ_{Y,p}$. In particular, we give necessary and sufficient conditions for an open smooth family $Ω\equiv (X_s,g_s)$ of closed manifolds to satisfy $\barΩ=\barΩ_{Y,p}$ for {\it some} limit $Y$ and point $p\in Y$ as above, where $\barΩ$ is the closure of $Ω$ in the set of metric spaces equipped with the Gromov-Hausdorff topology. We use this characterization to construct examples which exhibit fundamentally new behaviors. The first application is to construct limit spaces $(Y^n,d_Y,p)$ with $n\geq 3$ such that at $p$ there exists for every $0\leq k\leq n-2$ a tangent cone at $p$ of the form $\RR^{k} imes C(X^{n-k-1})$, where $X^{n-k-1}$ is a smooth manifold not isometric to the standard sphere. In particular, this is the first example which shows that a stratification of a limit space $Y$ based on the Euclidean behavior of tangent cones is not possible or even well defined. It is also the first example of a three dimensional limit space with nonunique tangent cones. The second application is to construct a limit space $(Y^5,d_Y,p)$, such that at $p$ the tangent cones are not only not unique, but not homeomorphic. Specifically, some tangent cones are homeomorphic to cones over $\CC P^2\sharp\bar{\CC P}^2$ while others are homeomorphic to cones over $\Sn^4$.

研究の動機と目的

• リッチ曲率下界付きのリーマン多様体の非崩壊的Gromov-Hausdorff極限における点における接錐の集合を特徴づけること。
• このような極限において、滑らかな閉多様体の族が接錐の断面として現れるための必要十分条件を特定すること。
• 根本的に非一意的かつ非同相な接錐を有する極限空間の新しい例を構成し、層化に関する既存の仮定に挑戦すること。
• リッチ閉包性という幾何的条件を定義し、このような極限空間の構成を可能にするものとする。

提案手法

• 閉リーマン多様体に対するリッチ閉包性の概念を導入する：その多様体の錐的端部と等長である完備で非負のリッチ曲率を持つ多様体が存在すること。
• Gromov-Hausdorff収束と距離空間の空間のコンパクト性を用いて、接錐の断面族の閉包を分析する。
• 特定の関数を用いて、$ ds^2 + C^2(s)dr^2 + D^2(s)A^2(r)dr^2 + E^2(s)B^2(r)(dY^2 + dZ^2) $ の形のワーパード積度量を用いて幾何的コボルディズムを構成し、非負のリッチ曲率を保証する。
• 第二基本形式の制御を用いた接合アプローチを適用する：境界の第二基本形式の大きさと符号が支配的になるように、錐的端部と滑らかに接合されたキャップを一致させる。
• 得られた多様体が非負のリッチ曲率を持ち、境界が元の断面と等長であることを確認することで、リッチ閉包性を証明する。
• リッチ閉包性を持つ断面の存在を用いて、断面族の閉包が与えられた族と一致する極限空間を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな閉多様体の族が、リッチ曲率下界付きの非崩壊的極限空間における接錐の断面として現れるために必要な十分条件は何か？
• RQ2 点における接錐が非一意的であるだけでなく、同相でもない極限空間を構成できるか？
• RQ3 接錐のユークリッド次元が異なり、球面でない断面を有する極限空間を構築できるか？
• RQ4 リッチ閉包性を持つ断面の存在が、その閉包が接錐断面の集合として実現される極限空間の存在を保証するか？

主な発見

• 本稿は、非一意的接錐を有する3次元の極限空間を構成した。各 $ 0 \leq k \leq n-2 $ に対して、$ \mathbb{R}^k \times C(X^{n-k-1}) $ の形の接錐が存在し、$ X^{n-k-1} $ は標準球面と等長でない滑らかな多様体である。
• この例により、接錐のユークリッド次元に基づく極限空間の層化はwell-definedでないことが示された。なぜなら、同じ点に複数の異なるユークリッド次元の接錐が共存できるからである。
• 5次元の極限空間が構成され、その接錐は非一意的かつ非同相である：一部は $ \mathbb{C}P^2\sharp\overline{\mathbb{C}P}^2 $ を底面とする錐であり、他は $ S^4 $ を底面とする錐である。
• この構成により、$ \mathbb{C}P^2\sharp\overline{\mathbb{C}P}^2 $ がリッチ閉包性を有することを証明した。具体的には、その錐的端部がこの多様体の錐と等長である完備な5次元多様体で、非負のリッチ曲率を持つものを構成した。
• 滑らかな閉多様体の族が体積およびリッチ曲率の有界性を満たし、かつ少なくとも1つのリッチ閉包性を持つ多様体を含むならば、その族は非崩壊的極限空間における接錐断面の集合の閉包として実現可能であると示した。
• この結果により、接錐断面の集合 $ \overline{\Omega}_{Y,p} $ が、Gromov-Hausdorff位相におけるその族の位相的閉包によって正確に特徴づけられることを確認した。