[論文レビュー] Characterization of the atomic space $H^1$ for non doubling measures in terms of a grand maximal operator

Xavier Tolsa|ArXiv.org|May 6, 2000

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非二重測度における原子的Hardy空間 $H^{1}(\mu)$ の特徴付けを、グランド最大作用素 $M_{\Phi}$ を用いて行った。関数 $f$ が $H^{1}(\mu)$ に属するための必要十分条件は、$f \in L^1(\mu)$、$\int f\,d\mu = 0$、および $M_{\Phi}f \in L^1(\mu)$ であることを証明した。これは、$\mu(B(x,r)) \leq C_0 r^n$ を満たす成長条件を課した非二重設定への古典的 $H^1$ 理論の拡張である。この結果により、二重性を仮定しない状況でもCalderón-Zygmund作用素が $L^p(\mu)$ 上で有界であることが保証される。

ABSTRACT

Let $μ$ be a Radon measure on $R^d$, which may be non doubling. The only condition that $μ$ must satisfy is $μ(B(x,r))\leq C r^n$, for all $x,r$ and for some fixed $0

研究の動機と目的

• 非二重測度が成長条件 $\mu(B(x,r)) \leq C_0 r^n$ を満たす場合に、古典的 $H^1$ 理論を拡張すること。
• 測度 $\mu$ が非二重である場合に、標準的な $H^1$ および $BMO$ 空間がCalderón-Zygmund作用素の有界性を保存しないという問題に対処すること。
• 古典的状況における特徴付けを模倣する形で、原子的ブロック空間 $H^{1,\infty}_{atb}(\mu)$ をグランド最大作用素 $M_{\Phi}$ を用いて特徴付けること。
• $RBMOM(\mu)$ と $H^{1,\infty}_{atb}(\mu)$ の双対性を確立し、Calderón-Zygmund作用素の $L^p$ 有界性を導くこと。

提案手法

• グランド最大作用素 $M_{\Phi}f(x) = \sup_{{\varphi} \sim x} \left| \int f(y) {\varphi}(y) \, d\mu(y) \right|$ を定義する。ここで $\Phi$ は、制御された減衰を示す滑らかで compact な台を持つ関数の族である。
• 原子的ブロック $b$ を、立方体 $Q_j \subset R$ 上に台を持つ原子 $a_j$ の無限和として定義する。ここで $\|a_j\|_{L^\infty(\mu)} \leq (\mu(2Q_j) K_{Q_j,R})^{-1}$ であり、$K_{Q,R}$ は幾何的・測度的複雑性を符号化する。
• 切り捨て技術を用い、二重立方体 $Q_k$ 上に台を持つ切断関数 $w_k$ を導入し、$f - f_k = (1 - w_k)f + w_k f - f_k$ の形に分解して、最大関数の挙動を制御する。
• 二重分解と最大関数の推定を適用し、ドミネーテッド収束定理により $\|M_{\Phi}(f - f_k)\|_{L^1(\mu)} \to 0$ ($k \to \infty$) を示す。
• 重要な推定式：$M_{\Phi}f_k(x) \leq C M_{\Phi}f(x) + C |c_k| \mu(Q_k) \frac{\ell(Q_k)}{|y_0 - x|^{n+1}}$ を用い、$\varphi$-関数の減衰性を活用する。
• $\chi_{4Q_k} M_{\Phi}((1 - w_k)f)(x) \to 0$ が almost everywhere で点wise 収束し、$C M_{\Phi}f(x)$ で支配されるため、$L^1$ 収束が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非二重測度における原子的Hardy空間 $H^{1,\infty}_{atb}(\mu)$ は、古典的 $H^1$ 理論と類似する形で、グランド最大作用素を用いて特徴付け可能か？
• RQ2 成長条件 $\mu(B(x,r)) \leq C_0 r^n$ の下で、$M_{\Phi}f \in L^1(\mu)$、$f \in L^1(\mu)$、$\int f\,d\mu = 0$ という条件が、$H^{1,\infty}_{atb}(\mu)$ への属性を完全に特徴付けるか？
• RQ3 二重性が成り立たない状況において、グランド最大作用素 $M_{\Phi}$ は原子的ブロック分解をどのように制御するか？
• RQ4 二重性を仮定しない状況でも、$L^1$-ドミネーテッド収束定理を用いて、切り捨てられた最大関数 $M_{\Phi}(f - f_k)$ の $L^1(\mu)$ における収束を確立できるか？
• RQ5 $K_{Q,R}$ の係数が原子的ブロックノルムを定義する上での役割は何か？また、最大作用素の有界性を保証するために果たす役割は？

主な発見

• 空間 $H^{1,\infty}_{atb}(\mu)$ は、$f \in L^1(\mu)$、$\int f\,d\mu = 0$、$M_{\Phi}f \in L^1(\mu)$ という条件によって特徴付けられる。これは、$\mu(B(x,r)) \leq C_0 r^n$ を満たす非二重測度への古典的 $H^1$ 特徴付けの拡張である。
• グランド最大作用素 $M_{\Phi}$ は原子的ブロック分解を制御し、与えられた条件下で $\|M_{\Phi}(f - f_k)\|_{L^1(\mu)} \to 0$ ($k \to \infty$) が成り立つことを保証する。
• 切り捨てられた最大関数 $M_{\Phi}(f_k)$ は、$C M_{\Phi}f(x) + C |c_k| \mu(Q_k) \frac{\ell(Q_k)}{|y_0 - x|^{n+1}}$ で支配され、後者の項の $\mathbb{R}^d \setminus 4Q_k$ 上での積分は 0 に収束する。
• $\chi_{4Q_k} M_{\Phi}((1 - w_k)f)(x)$ は点wise 0 に収束し、$C M_{\Phi}f(x)$ で支配されるため、$L^1$ ノルムは $k \to \infty$ で 0 に収束する。
• 証明は、$\|f\|_{L^1(\mu)}$ と $\|M_{\Phi}f\|_{L^1(\mu)}$ が有限であることを利用しており、ドミネーテッド収束定理を適用して $L^1$ 収束を結論づけている。
• 定義における $K_{Q,R}$ の $\rho > 1$ の選択に頼らず、異なる $\rho$ に対して同値なノルムが得られるため、結果は特定の $\rho$（例：$\rho = 2$）の選択に依存しない。