[論文レビュー] Characterization of the class of canonical forms for systems of linear equations

J. C. Ndogmo|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2015

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、線形常微分方程式系の標準形および正規形における同値群を同定することにより、その可換形のクラスを特徴づける。線形系が可逆な点変換によって $\mathbf{y}^{(n)} = 0$ の形に簡約可能であるための必要十分条件は、その正規形が同一の源パラメータを持つ同一の反復方程式から成ることであり、一般解の重ね合わせ公式も導出する。

ABSTRACT

The equivalence group is determined for systems of linear ordinary differential equations in both the standard form and the normal form. It is then shown that the normal form of linear systems reducible by an invertible point transformation to the canonical equation $\by^{(n)}=0$ consists of copies of the same iterative equation. Other properties of iterative linear systems are also derived, as well as the superposition formula for their general solution.

研究の動機と目的

• 標準形および正規形における線形常微分方程式系の同値群を特定すること。
• 可逆な点変換によって $\mathbf{y}^{(n)} = 0$ の形に簡約可能な系のクラスを特徴づけること。
• 線形系の正規形が同一の源パラメータを持つ反復方程式から成るための条件を確立すること。
• このような系の一般解の重ね合わせ公式を導出すること。
• 反復系と可換形クラスとの関係、特にスカラー系との対比を明確にすること。

提案手法

• Lie対称性解析を用いて、標準形および正規形における線形ODE系の同値群を導出する。
• 演算子 $\Psi = \mathbf{r}\frac{d}{dx} + \mathbf{s}$ を用いて反復方程式の概念を導入する。ここで $\mathbf{r}$ および $\mathbf{s}$ は行列係数である。
• 再帰関係を用いて、$n$ 階反復系 $\Psi^n[\mathbf{y}] = 0$ の係数 $K_n^j$ を $\mathbf{r}$ および $\mathbf{s}$ の関数として表現する。
• 変数変換 $\mathbf{y} = Q\mathbf{w}$ を適用して系を正規形に変換する。ここで $Q$ は行列 $\mathfrak{q}$ から導かれる。
• 変換 $f^{(j)} = D_x^{j-2}(-f\mathfrak{q})$ を適用して正規形を可換形クラスに写像する。
• 2階源方程式の解のべき乗および積分の線形結合として $\mathbf{w}$ を表現することにより、一般解の重ね合わせ原理を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準形および正規形における線形ODE系の同値群は何か？
• RQ2 線形系が可逆な点変換によって $\mathbf{y}^{(n)} = 0$ の形に簡約可能であるための条件は何か？
• RQ3 反復系は線形ODEの可換形クラスとどのように関係しているか？
• RQ4 可換形クラスに属する線形系の一般解は何か？ また、源方程式の解からどのように構成できるか？
• RQ5 すべての反復系が可換形クラスに属するわけではないが、可換系を生成する演算子 $\Psi = \mathbf{r}\frac{d}{dx} + \mathbf{s}$ の一般形は何か？

主な発見

• 標準形および正規形における線形ODE系の同値群は、Lie対称性手法を用いて完全に特徴づけられた。
• 線形系が可逆な点変換によって $\mathbf{y}^{(n)} = 0$ の形に簡約可能であるための必要十分条件は、その正規形が同一の源パラメータを持つ同一の反復方程式のコピーから成ることである。
• 可換形 $\mathbf{y}^{(n)} + A_n^2\mathbf{y}^{(n-2)} + \cdots + A_n^n\mathbf{y} = 0$ の係数 $A_n^j$ は、2階源方程式を定義するスカラー関数 $\mathfrak{q}$ の微分関数として明示的に表現できる。
• 可換形クラスに属する系の一般解は、重ね合わせ原理により構成される：$w_i = \sum_{j=1}^n C_{ij} u^{n-j} v^{j-1}$ ここで $u$ および $v$ は2階源方程式の線形独立解である。
• $\mathbf{r} = \operatorname{diag}(u_1^2, \dots, u_m^2)$ または $\mathbf{r} = u^2(r_{ij})$ である場合、$u_j$ が源方程式の解を満たすとき、行列 $\mathbf{r}$ はその微分と可換であり、$\mathcal{A}(\mathbf{r}) = \mathfrak{q}I_m$ を満たす。これにより、系が可換形クラスに属することが保証される。
• すべての反復系が可換形クラスに属するわけではない。これは、スカラー系とは異なり、ベクトル系では最大対称性があるからといって必ずしも $\mathbf{y}^{(n)} = 0$ に簡約可能であるとは限らないことを示している。