[論文レビュー] Characterization of the Strong Divisibility Property for Generalized Fibonacci Polynomials

Rigoberto Flórez, Robinson A. Higuita+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2017

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、一般化フィボナッチ多項式（GFP）における強可除性性質（SDP）を完全に特徴づけ、そのバイネット公式に基づき、フィボナッチ型とラウス型に分類する。SDPが成り立つのは、GFPがフィボナッチ型である場合に限り、かつそのときに限り、SDPが成り立たない場合の最大公約数の明示的公式を提示し、特にラウス型および混合型多項式に対して述べる。

ABSTRACT

It is known that the greatest common divisor of two Fibonacci numbers is again a Fibonacci number. It is called the strong divisibility property. However, this property does not hold for every second order sequence. In this paper we study the generalized Fibonacci polynomials and classify them in two types depending on their Binet formula. We give a complete characterization for those polynomials that satisfy the strong divisibility property. We also giveformulas to calculate the $\gcd$ of those polynomials that do not satisfy the strong divisibility property. Note. This paper is now published in INTEGERS.

研究の動機と目的

• 一般化フィボナッチ多項式（GFP）を、そのバイネット公式に基づき、フィボナッチ型とラウス型に分類すること。
• 一般化フィボナッチ多項式における強可除性性質（gcd(F_m, F_n) = F_gcd(m,n)）が成り立つ正確な条件を特定すること。
• 強可除性性質が成り立たない場合のGFPの最大公約数に対する明示的公式を提示すること、特にラウス型および混合型の多項式に対して。
• 古典的数列（例：フィボナッチ、チェビシェフ、ペル）の最大公約数に関する既知の結果を、GFPの統一的枠組みに拡張すること。
• 非同値または非同一のGFP列における最大公約数の挙動に関する未解決の問題を提示すること。

提案手法

• 特性方程式の根に基づき、閉形式のバイネット公式を用いてGFPをフィボナッチ型とラウス型に分類する。
• 背理法を用いて、強可除性性質を満たすのはフィボナッチ型のGFPに限ることを証明する。
• 2進付値E₂(m)、E₂(n)の分析を通し、ラウス型GFPの最大公約数の明示的公式を導出する。
• 同じ漸化式だが異なる初期条件を持つGFPを「同値」と定義し、フィボナッチ型とラウス型の同値なGFP間の最大公約数を分析する。
• ホラダム、フッガット、ウェブの既知の結果を応用し、古典的数列における最大公約数の性質を一般化・統一する。
• 表（3–5）を用いて、インデックスの偶奇性および2進付値に基づく、代表的なGFPの最大公約数結果を体系的に提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの一般化フィボナッチ多項式に対して強可除性性質が成り立つか？
• RQ2 強可除性性質が成り立たない場合、2つのラウス型一般化フィボナッチ多項式の最大公約数は何か？
• RQ3 フィボナッチ型GFPとその同値なラウス型GFPとの間の最大公約数はどのように振る舞うか？
• RQ4 混合型GFPペア（例：フィボナッチ多項式とラウス多項式）に対して、強可除性性質が成り立つ条件は何か？
• RQ5 同じ型の非同値な2つの一般化フィボナッチ多項式の最大公約数は何か？

主な発見

• 一般化フィボナッチ多項式に対して強可除性性質が成り立つのは、その多項式がフィボナッチ型である場合に限り、かつそのときに限り成り立つ。
• ラウス型多項式では、インデックスの2進付値が等しい（E₂(m) = E₂(n)）場合に限り、強可除性性質が成り立つ。それ以外の場合は最大公約数は1である。
• フィボナッチ型GFPとその同値なラウス型GFPを組み合わせた場合、最大公約数は、E₂(n) < E₂(m) ならばインデックスd = gcd(m,n) のラウス型多項式となる。そうでない場合は1である。
• 表3–5は、フィボナッチ、ペル、チェビシェフ、ジャコブスティャル、モーガン・ヴォイス多項式を含む12個の古典的GFPについて、すべてのインデックスの組み合わせに対して完全な最大公約数の公式を提示する。
• 同じ型の非同値な2つのGFPの最大公約数は、構造的および数値的証拠に基づき、1またはxであると予想される。
• 本稿は、すべての古典的フィボナッチ型多項式（例：フィボナッチ、ペル、第二種チェビシェフ）に対して強可除性性質が成り立つことを確認しており、gcd(F_m, F_n) = F_gcd(m,n) が成り立つ。