[論文レビュー] Characterization of uninorms with continuous underlying t-norm and t-conorm by means of an extended ordinal sum

Andrea Mesiarová‐Zemánková|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2015

Advanced Algebra and Logic参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、拡張された順序和構成を導入することにより、連続的な下位の t-ノルムおよび t-コノールムを有するユニノームの完全な特徴付けを提供する。本稿は、このようなユニノームが表現可能なユニノーム、連続的アーケィメデス的 t-ノルム、t-コノールム、および内部ユニノームに分解可能であることを証明し、t-ノルムおよび t-コノールムの順序和表現をユニノーム枠組みへ一般化する。

ABSTRACT

The uninorms with continuous underlying t-norm and t-conorm are characterized via an extended ordinal sum construction. Using the results of [18], where each uninorm with continuous underlying operations was characterized by properties of its set of discontinuity points, it is shown that each such a uninorm can be decomposed into an extended ordinal sum of representable uninorms, continuous Archimedean t-norms, continuous Archimedean t-conorms and internal uninorms.

研究の動機と目的

• 連続的な下位の t-ノルムおよび t-コノールムを有するユニノームを完全に特徴付けること — これはファジィ集合理論における長年の未解決問題である。
• t-ノルムおよび t-コノールムに既に確立された順序和構成を、連続的成分を有するユニノームへ拡張すること。
• その不連続点の性質に基づく、このようなユニノームの構造的分解を提供すること — これには [18] の先行研究に基づくものである。
• 連続的演算を有するユニノームの表現を、一貫した構成フレームワークの下に統合すること。
• 加法的生成子および拡張された順序和分解を用いて、これらのユニノームの完全な分類を確立すること。

提案手法

• 不連続点によって定義される区間に基づき、拡張された順序和構成を用いてユニノームを成分に分解する。
• 不連続点集合の性質によってユニノームを特徴付ける結果 [18] を適用し、構造的成分を同定する。
• 連続的アーケィメデス的 t-ノルムおよび t-コノールムの加法的生成子を用いて、ユニノームの連続的部品を表現する。
• ユニノームが特定の区間でどのように振る舞うかに基づき、表現可能なユニノーム、内部ユニノーム、およびアーケィメデス的 t-ノルム/t-コノールム部品を区別する。
• 多価関数 r(x) を用いて、ユニノームが非連続的挙動を示す値の範囲を記述し、部品タイプの分類を可能にする。
• 単調性および冪等性条件を適用し、拡張された順序和がすべての入力組み合わせにおいて元のユニノームと一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的な下位の t-ノルムおよび t-コノールムを有するユニノームは、拡張された順序和構成を用いて完全に特徴付け可能か？
• RQ2 このようなユニノームの分解において、必ず現れる成分の種類（例：表現可能、アーケィメデス的、内部的）は何か？
• RQ3 ユニノームの不連続点は、その構造的分解が単純な演算へとどのように影響するか？
• RQ4 拡張された順序和構成は、t-ノルムおよび t-コノールムの古典的順序和表現をユニノーム設定へどの程度一般化するか？
• RQ5 拡張された順序和構成が、連続的な下位演算を有するユニノームに対して一意な表現を生成する条件は何か？

主な発見

• 連続的な下位の t-ノルムおよび t-コノールムを有するすべてのユニノームは、一意に表現可能なユニノーム、連続的アーケィメデス的 t-ノルム、連続的アーケィメデス的 t-コノールム、および内部ユニノームの拡張順序和に分解可能である。
• 分解は、先行研究 [18] で特徴付けられたユニノームの不連続点集合によって完全に決定される。
• ユニノームが多価関数 r(x) の値の範囲で非連続的挙動を示す場合、表現可能なユニノームが部品として現れる。
• ユニノームが標準的な t-ノルムまたは t-コノールムのように振る舞う区間では、連続的アーケィメデス的 t-ノルムおよび t-コノールムが部品として出現する。
• ユニノームが擬似内部的または厳密内部的である領域では内部ユニノームが生じるが、特に r(x) の特定の極限挙動を示す区間で顕著である。
• 拡張された順序和構成により、冪等および極限値の適切な取り扱いにより、結果として得られるユニノームがすべてのケース（不連続点を含む）で元のユニノームと一致することが保証される。