[論文レビュー] Characterizations of 1-Way Quantum Finite Automata

Alex Brodsky, Nicholas Pippenger|ArXiv.org|Mar 3, 1999

semigroups and automata theory参考文献 9被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、1-way量子有限オートマトン（1QFA）の2つのモデル、測定1回型（MO-QFA）と測定多数型（MM-QFA）を特徴づける。MO-QFAは有界誤差で正確に群言語を受理するが、制限のないMO-QFAは自由群の語問題を解ける。MM-QFAは、新規の構築技法を用いて有界誤差で部分的テスト可能集合を受理でき、このクラスは補集合、逆ホモモーティズム、語商に関して閉じている。

ABSTRACT

The 2-way quantum finite automaton introduced by Kondacs and Watrous can accept non-regular languages with bounded error in polynomial time. If we restrict the head of the automaton to moving classically and to moving only in one direction, the acceptance power of this 1-way quantum finite automaton is reduced to a proper subset of the regular languages. In this paper we study two different models of 1-way quantum finite automata. The first model, termed measure-once quantum finite automata, was introduced by Moore and Crutchfield, and the second model, termed measure-many quantum finite automata, was introduced by Kondacs and Watrous. We characterize the measure-once model when it is restricted to accepting with bounded error and show that, without that restriction, it can solve the word problem over the free group. We also show that it can be simulated by a probabilistic finite automaton and describe an algorithm that determines if two measure-once automata are equivalent. We prove several closure properties of the classes of languages accepted by measure-many automata, including inverse homomorphisms, and provide a new necessary condition for a language to be accepted by the measure-many model with bounded error. Finally, we show that piecewise testable languages can be accepted with bounded error by a measure-many quantum finite automaton, in the process introducing new construction techniques for quantum automata.

研究の動機と目的

• 測定1回型および測定多数型1-way量子有限オートマトン（1QFA）の言語受理能力を特徴づけること。
• MM-QFAが受理する言語クラスが、補集合、逆ホモモーティズム、語商などの操作に関して閉じているかどうかを特定すること。
• 部分順序条件が、MM-QFAによる有界誤差受理の必要条件か十分条件かを検討すること。
• 部分的テスト可能集合などの複雑な言語クラスを受理するMM-QFAを構築するための新規構築技法を開発すること。
• MO-QFAと確率的有限オートマトン（PFAs）の間の同等性およびシミュレーション関係を確立すること。

提案手法

• ユニタリな遷移振幅と計算終了時の1回の測定を持つ5重組としてMO-QFAを定義する。
• ユニタリティと振幅の進化を用いて、有界誤差におけるMO-QFAの言語受理を、群言語に等価であると特徴づける。
• オートマトンのテンソル積を用いて言語の積集合と和集合をシミュレートし、ブール結合の構築を可能にする。
• 複数のオートマトンを組み合わせるためのテンソル技法を適用し、指数的スケーリングにより振幅の減衰率を制御することで、有界誤差を保証する。
• 正の振幅チャネリングを用いて部分的テスト可能集合のためのMM-QFAを構築し、補集合化には補題4.13を適用する。
• ホモモーティズムの逆像および商の構成を用いて、逆ホモモーティズムおよび語商に関して閉じていることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界誤差で受理される測定1回型QFAが受理する言語クラスは何か？
• RQ2 有界誤差受理を制限しない測定1回型QFAは、非正則問題（例：自由群の語問題）を解けるか？
• RQ3 有界誤差で受理される測定多数型QFAが受理する言語クラスが持つ閉包性は何であるか？
• RQ4 部分順序条件は、MM-QFAによる有界誤差受理の十分条件か？
• RQ5 新規の構築技法を用いて、MM-QFAが有界誤差で部分的テスト可能集合を受理できるか？

主な発見

• 有界誤差で受理されるMO-QFAが受理する言語クラスは、正確に群言語のクラスに一致する。
• 制限のないMO-QFAは自由群上の語問題を解くことができ、非正則言語の受理を示している。
• MO-QFAは確率的有限オートマトン（PFAs）によってシミュレート可能であり、2つのMO-QFAの同値性を判定するアルゴリズムが存在する。
• 有界誤差で受理されるMM-QFAが受理する言語クラスは、補集合、逆ホモモーティズム、語商に関して閉じている。
• 振幅チャネリングとテンソル積を用いた新規構築技法により、MM-QFAは有界誤差で部分的テスト可能集合を受理できる。
• 部分順序条件は、MM-QFAによる有界誤差受理の必要条件である。その十分性は未解決であり、ブール演算に関する閉包性と関連している。