[論文レビュー] Characterizations of almost greedy and partially greedy bases

S. J. Dilworth, Divya Khurana|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Rings, Modules, and Algebras参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、滑らかな近似誤差比較と弱閾値グリーディアルゴリズムを用いて、バナッハ空間におけるほぼグリーディ基底および部分的グリーディ基底の新しい特徴付けを提示する。本稿では、逆部分的グリーディ基底という画期的な概念を導入し、ほぼグリーディ基底が準グリーディかつ民主的であることに等価であり、部分的グリーディ基底は準グリーディ性と保存的性質によって特徴付けられることを確立する。また、弱グリーディ近似解析を通じて鋭い定数が導出される。

ABSTRACT

We shall present new characterizations of partially greedy and almost greedy bases. A new class of basis (which we call reverse partially greedy basis) arises naturally from these characterizations of partially greedy bases. We also give characterizations for $1$-partially greedy and $1$-reverse partially greedy bases.

研究の動機と目的

• 滑らかな誤差比較を用いた、バナッハ空間におけるほぼグリーディおよび部分的グリーディ基底の新しい内在的特徴付けを提供すること。
• 部分的グリーディ基底の特徴付けの自然な帰結として生じる、逆部分的グリーディ基底の新クラスを導入し、その研究を行うこと。
• 既知の特徴付けを、$1$-ほぼグリーディおよび$1$-逆部分的グリーディ基底のケースに拡張し、鋭い定数を導出すること。
• ほぼグリーディ基底と準グリーディ性および民主的性の組み合わせとの同値性、および部分的グリーディ基底と準グリーディ性および保存的性質の組み合わせとの同値性を確立すること。
• パrameter $\tau$ を持つ弱閾値グリーディアルゴリズム（WTGA）を分析し、最良近似とグリーディ選択の両方の観点から、近似誤差の均一な上限を導出すること。

提案手法

• グリーディ選択集合 $\Lambda_m^\tau(x)$ に関する左および右近似誤差 $\sigma_m^L(x)$, $\sigma_m^R(x)$, $\tilde{\sigma}_m^L(x)$, および $\tilde{\sigma}_m^R(x)$ を導入し、それらを分析すること。
• パrameter $\tau \in (0,1)$ を持つ弱閾値グリーディアルゴリズム（WTGA）を用い、$G_m^\tau(x)$ を、集合外の最大係数の $\tau$ 倍以上である係数を持つインデックスの和として定義すること。
• 集合 $A$ が $\Lambda_m^\tau(x)$ と重複する部分のサイズをパrameter $\lambda$ で制限する条件下で、$\|x - G_m^\tau(x)\|$ と $\|x - \sum_{i\in A} a_i e_i\|$ の間の均一な上限を確立すること。
• すべての $x$ および $|A \cap \Lambda_m^\tau(x)| \leq \lambda m$ を満たす $A$ に対して、弱グリーディ近似不等式を満たすならば、その基底はほぼグリーディであることを証明すること。
• 基底の基本関数 $\phi(n)$ を用いて、最大係数の大きさと近似誤差との関係を、準グリーディおよび民主的性質を活用して関係づけること。
• 三角不等式を適用し、$\|x - G_m(x)\|$ と $\|x - G_{2m}(x)\|$ の比較を用いて、誤差の減少が速いか遅いかに応じた2つの場合の均一な上限を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の準グリーディおよび民主的特徴付けを超えて、基底がほぼグリーディであるための必要十分条件は何か？
• RQ2 新しい誤差比較ノルムと保存的性質を用いて、部分的グリーディ基底の概念を再特徴付けできるか？
• RQ3 パrameter $\tau$ を持つ弱閾値グリーディアルゴリズム（WTGA）は、ほぼグリーディ基底の特徴付けにおいて果たす役割は何か？
• RQ4 逆部分的グリーディ基底のクラスを形式的に定義し、特徴付けできるか。また、それらは部分的グリーディ基底とどのように関係しているか？
• RQ5 $1$-ほぼグリーディおよび$1$-逆部分的グリーディ基底における近似不等式の鋭い定数は何か？

主な発見

• 基底がほぼグリーディであるための必要十分条件は、それが準グリーディかつ民主的であることであり、近似不等式における鋭い定数は弱グリーディ近似解析を通じて導出される。
• 基底が部分的グリーディであるための必要十分条件は、それが準グリーディかつ保存的であることであり、これは新しい内在的特徴付けを確立する。
• 本稿では、部分的グリーディ基底の特徴付けに自然に生じる、逆部分的グリーディ基底の新クラスを導入し、その特徴付けを行う。
• 任意の $\tau \in (0,1)$ に対して、弱閾値グリーディアルゴリズムは、すべての $A$ に対して $|A \cap \Lambda_m^\tau(x)| \leq \lambda m$ かつ $|A| \leq m$ を満たす場合に、$\|x - G_m^\tau(x)\| \leq C \|x - \sum_{i\in A} a_i e_i\|$ を満たす。ここで $C$ は $τ$ と $λ$ のみに依存する。
• 著者らは、基底が Markushevich 基底であり、かつほぼグリーディであるならば、弱グリーディ近似誤差が最良近似誤差の定数倍で一様に有界であることを証明した。その定数は $τ$ のみに依存する。