[論文レビュー] Characterizations of Besov and Triebel-Lizorkin Spaces via Averages on Balls

Feng Dai, Амиран Гогатишвили+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、滑らかさ順序 $\alpha \in (0,2\ell)$、$\ell \in \mathbb{N}$ のもとで、関数とその球平均の差 $f - B_{\ell,2^{-k}}f$ を用いて、$\mathbb{R}^n$ 上の同次Besov空間およびTriebel-Lizorkin空間の新しい特徴付けを確立する。主な結果は、この差の列が関数のノルムを制御することを示しており、任意の滑らかさ順序を持つ同次空間上での関数空間の定義に新たな道筋を提供する。

ABSTRACT

Let $\ell\in\mathbb{N}$ and $p\in(1,\infty]$. In this article, the authors prove that the sequence $\{f-B_{\ell,2^{-k}}f\}_{k\in\mathbb{Z}}$ consisting of the differences between $f$ and the ball average $B_{\ell,2^{-k}}f$ characterizes the Besov space $\dot B^α_{p,q}( n)$ with $q\in (0, \infty]$ and the Triebel-Lizorkin space $\dot F^α_{p,q}( n)$ with $q\in (1,\infty]$ when the smoothness order $α\in(0,2\ell)$. More precisely, it is proved that $f-B_{\ell,2^{-k}}f$ plays the same role as the approximation to the identity $φ_{2^{-k}}\ast f$ appearing in the definitions of $\dot B^α_{p,q}( n)$ and $\dot F^α_{p,q}( n)$. The corresponding results for inhomogeneous Besov and Triebel-Lizorkin spaces are also obtained. These results, for the first time, give a way to introduce Besov and Triebel-Lizorkin spaces with any smoothness order in $(0, 2\ell)$ on spaces of homogeneous type, where $\ell\in{\mathbb N}$.

研究の動機と目的

• 空間の同次型上での滑らかさ順序 $\geq 2$ のBesovおよびTriebel-Lizorkin空間を定義するという未解決問題に取り組む。
• 関数の差 $f - B_{\ell,2^{-k}}f$ を用いて、同次および非同次BesovおよびTriebel-Lizorkin空間を特徴付ける。
• この特徴付けが基本となるノルムに依存しないことにより、ユークリッド空間を超えた関数空間の適用範囲を拡大する。
• 任意の滑らかさ順序 $\alpha \in (0,2\ell)$ を持つ関数空間を、球平均を用いて同次空間上に定義するための枠組みを確立する。

提案手法

• 二項係数を用いて、半径 $t$ の球上での平均の高階差分として、演算子 $B_{\ell,t}f(x)$ を定義する。
• $B_{\ell,t}$ に関連するフーリエ乗数 $m_{\ell}(t\xi)$ を用い、差 $f - B_{\ell,2^{-k}}f$ を周波数局在化と関連付ける。
• $|f - B_{\ell,2^{-k}}f|$ の点ごとの評価および $L^p$ 型評価を、滑らかさノルム $\|f\|_{\dot{B}^\alpha_{p,q}}$ および $\|f\|_{\dot{F}^\alpha_{p,q}}$ の観点から確立する。
• Calderón再構成公式との比較によりノルムの同値性を証明し、$\{f - B_{\ell,2^{-k}}f\}_{k \in \mathbb{Z}}$ が滑らかな dyadic 分解のようであることを示す。
• 一般のノルム空間における単位球 $K$ の対称性および凸性を用い、$\mathbb{R}^n$ 上の任意のノルムへの一般化を実現し、ノルム変更における空間の不変性を証明する。
• 最大関数の評価および乗数 $m_{\ell,K}(x)$ の点ごとの境界を用いて、$B_{\ell,t,K}f$ の振る舞いを制御し、必要な不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかさ順序 $\alpha \in (0,2\ell)$ のBesovおよびTriebel-Lizorkin空間を、古典的な dyadic 分解の代わりに差 $f - B_{\ell,2^{-k}}f$ を用いて特徴付けられるか。
• RQ2 この特徴付けは $\mathbb{R}^n$ 上のノルムの変更に対して安定であるか。これにより、一般の同次空間への拡張が可能か。
• RQ3 列 $\{f - B_{\ell,2^{-k}}f\}_{k \in \mathbb{Z}}$ が、$q \in (0,\infty]$ および $p \in (1,\infty]$ に対して、$\dot{B}^\alpha_{p,q}(\mathbb{R}^n)$ および $\dot{F}^\alpha_{p,q}(\mathbb{R}^n)$ 上の関数の全ノルムを制御するか。
• RQ4 同様の特徴付けを非同次BesovおよびTriebel-Lizorkin空間へ拡張できるか。
• RQ5 差 $f - B_{\ell,2^{-k}}f$ と、これらの関数空間の古典的な平方関数または近似恒等元による定義との間の正確な関係は何か。

主な発見

• 列 $\{f - B_{\ell,2^{-k}}f\}_{k \in \mathbb{Z}}$ は、滑らかさ順序 $\alpha \in (0,2\ell)$、$p \in (1,\infty]$、$q \in (0,\infty]$ のもとで、同次Besov空間 $\dot{B}^\alpha_{p,q}(\mathbb{R}^n)$ を特徴付ける。ノルムは $\left\| \left\{ \sum_{k \in \mathbb{Z}} 2^{k\alpha q} |f - B_{\ell,2^{-k}}f|^q \right\}^{1/q} \right\|_{L^p}$ と同値である。
• 同次Triebel-Lizorkin空間 $\dot{F}^\alpha_{p,q}(\mathbb{R}^n)$ に対しては、$p \in (1,\infty)$ および $q \in (1,\infty]$ のとき、ノルムは $\left\| \left\{ \sum_{k \in \mathbb{Z}} 2^{k\alpha q} |f - B_{\ell,2^{-k}}f|^q \right\}^{1/q} \right\|_{L^p}$ と同値であり、$p = \infty$ のときは最大関数型の表現と同値である。
• ユークリッド球を $\mathbb{R}^n$ 上の任意のノルムの単位球 $K$ に置き換えても、特徴付けは有効である。このとき、$B_{\ell,t,K}f$ は、拡大された $K$ 上の平均の二項結合として定義される。
• 演算子 $B_{\ell,t,K}$ に関連する乗数 $m_{\ell,K}(x)$ は、$|x|$ が小さいとき $|m_{\ell,K}(x)| \sim |x|^{2\ell}$ を満たし、$|\nabla^i m_{\ell,K}(x)| \lesssim \min\{|x|^{2\ell - i}, 1\}$ を満たす。これにより、正しい同次性および滑らかさが保証される。
• 結果は $\mathbb{R}^n$ 上のノルムの選択に依存せず、有限次元性により、任意のノルム下で $\dot{B}^\alpha_{p,q}(\mathbb{R}^n)$ および $\dot{F}^\alpha_{p,q}(\mathbb{R}^n)$ が同値である。
• 本手法により、任意の滑らかさ順序 $\alpha \in (0,2\ell)$ を持つBesovおよびTriebel-Lizorkin空間を、同次空間上に内在的に定義する新たな方法が得られ、分野における未解決問題を解決する。