[論文レビュー] Characterizations of Bounded Ricci Curvature on Smooth and NonSmooth Spaces

Aaron Naber|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、経路空間上の無限次元解析を用いて、滑らかでない測度付き距離空間を含む滑らかでない測度付き距離空間上での有界リッチ曲率の同値な特徴づけを確立する。平行勾配を導入し、有界リッチ曲率が勾配推定、マルティングール正則性、およびオルンシュタイン＝ウーレンバック作用素に対するスペクトル／対数ソボレフ推定と同値であることを証明する。これはバクリ＝エメリー理論を滑らかでない設定に拡張する。

ABSTRACT

There are two primary goals to this paper. In the first part of the paper we study smooth metric measure spaces (M^n,g,e^{-f}dv_g) and give several ways of characterizing bounds -Kg\leq \Ric+ abla^2f\leq Kg on the Ricci curvature of the manifold. In particular, we see how bounded Ricci curvature on M controls the analysis of path space P(M) in a manner analogous to how lower Ricci curvature controls the analysis on M. In the second part of the paper we develop the analytic tools needed to in order to use these new characterizations to give a definition of bounded Ricci curvature on general metric measure spaces (X,d,m). We show that on such spaces many of the properties of smooth spaces with bounded Ricci curvature continue to hold on metric-measure spaces with bounded Ricci curvature.

研究の動機と目的

• 滑らかな測度付き距離空間上での有界リッチ曲率の複数の同値な特徴づけを、経路空間解析を用いて提供すること。
• これらの特徴づけを、空間が滑らかでないか特異的であっても一般の測度付き距離空間に拡張すること。
• 確率的平行移動写像に依存せずに、任意の測度付き距離空間上での有界リッチ曲率の概念を定義すること。
• 有界リッチ曲率のもとで、Poincaré不等式や対数ソボレフ不等式といった主要な解析的性質が経路空間上で成り立つことを示すこと。
• 有界リッチ曲率が、ロット＝ヴィラニ＝シュールムの意味で下界としてのリッチ曲率を意味することを確立すること。

提案手法

• 曲線の変種と、確率的平行移動の代替となる新しい技法を用いて、経路空間上での平行勾配の概念を導入する。
• 無限次元解析を定義するために、経路空間上のウィENER測度を確率的構造として用いる。
• 有界リッチ曲率と、経路空間上での平行勾配を含む勾配推定との同値性を確立する。
• 2次変動推定を用いて、有界リッチ曲率と経路空間上でのマルティングールの $C^{1/2}$-正則性との関係を結ぶ。
• 経路空間上でのオルンシュタイン＝ウーレンバック作用素を分析し、有界リッチ曲率のもとで鋭いスペクトルギャップおよび対数ソボレフ不等式を証明する。
• 滑らかさに依存しないように、勾配の傾きと弱いリーマン構造を用いて平行勾配を定義することで、非滑らか空間への理論の適用を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな測度付き距離空間上での有界リッチ曲率は、経路空間上の無限次元解析を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 平行勾配は、経路空間上でのリッチ曲率の上限特徴づけにおいて果たす役割は何か？
• RQ3 マルティングール正則性と2次変動は、経路空間上での有界リッチ曲率とどのように関係するか？
• RQ4 有界リッチ曲率のもとで、経路空間上でのオルンシュタイン＝ウーレンバック作用素がPoincaré不等式および対数ソボレフ不等式を満たすか？
• RQ5 確率的平行移動に依存せずに、非滑らかな測度付き距離空間上での有界リッチ曲率をどのように定義し、特徴づけられるか？

主な発見

• 有界リッチ曲率は、経路空間上での平行勾配推定の族と同値であり、これはバクリ＝エメリーの勾配推定を無限次元に一般化する。
• 経路空間上でのマルティングールの $C^{1/2}$-正則性は、有界リッチ曲率と同値であり、2次変動が時間正則性条件を満たす。
• 有界リッチ曲率のもとで、オルンシュタイン＝ウーレンバック作用素に対して鋭い対数ソボレフ不等式およびスペクトルギャップ不等式が成り立ち、曲率の上限 $\kappa$ に明示的な依存関係を示す。
• 有界リッチ曲率をもつ測度付き距離空間では、経路空間が良好に振る舞うマルティングールを備え、Poincaré不等式および対数ソボレフ不等式が成り立つ。
• 有界リッチ曲率は、非滑らか設定においても、ロット＝ヴィラニ＝シュールムの意味で下界としてのリッチ曲率 $-\kappa$ を意味する。
• 理論により、任意の測度付き距離空間上でもオルンシュタイン＝ウーレンバック作用素とその関連解析を定義でき、滑らかな幾何学の結果を拡張する。