[論文レビュー] Characterizations of distributions via order statistics with random exponential shifts

Mohammad Ahsanullah, V. B. Nevzorov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2011

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、独立な指数確率変数によるずれを伴う順序統計量の分布的等式を用いて、連続的確率分布を特徴づける。隣接または非隣接の順序統計量と指数的ずれを含む確率的等式を解くことで、指数型、ロジスティック型、一般化ロジスティック型の分布族に対する明示的な分位数関数を導出する。これは、従来の順序統計量と指数変数を用いた指数型およびロジスティック型の特徴づけ結果を一般化するものである。

ABSTRACT

A class of probability distributions is characterized via equalities in law between two order statistics shifted by independent exponential variables. An explicit formula for the quintile function of the identified family of distributions is obtained. The results extend some known characterizations of exponential and logistic distributions.

研究の動機と目的

• 順序統計量と独立な指数的ずれを用いた指数型およびロジスティック型分布の既知の特徴づけを一般化すること。
• パrameters $ a,b \geq 0 $, $ (a,b) \neq (0,0) $ に対して、$ r = k+1 $ または $ r = k+2 $ の場合に、$ X_{k,n} + a\xi_1 \stackrel{d}{=} X_{r,n} - b\xi_2 $ が成り立つ分布族を特定すること。
• これらの分布的等式のもとで、元の分布の分位数関数 $ Q(x) $ の明示的表現を導出すること。
• ZykovとNevzorov（2010年）およびAhsanullahら（2010年）の先行研究を、$ F^\alpha $-スキームを用いてより広範な分布的特徴づけに拡張すること。

提案手法

• 分位数関数 $ Q(x) $ を主たる道具として用い、等式 $ X_{k,n} + a\xi_1 \stackrel{d}{=} X_{k+1,n} - b\xi_2 $ の分布的等価性が成り立つための必要十分条件を導出する。
• 逆累積分布関数（分位数関数）を用いて、確率的等式を $ Q'(x) $ を含む微分方程式に変換する。
• 非隣接順序統計量の場合に得られる微分方程式 $ Q'(x) = \frac{a(n-k-1)(n-k)x^2 + bk(k+1)(1-x)^2}{x(1-x)(k+1 + (n-2k-1)x)} $ を解く。
• $ F^\alpha $-スキームを用いて、変換された分布における $ X \stackrel{d}{=} X_{n,n} - a\xi $ の下で、特徴づけられる分布のクラスを拡張する。
• 補題1を用いて密度関数を等置し、$ F(x) $, $ F'(x) $ およびパrameters $ a, b, k, n $ を含む関数方程式を導出する。
• 導出された $ Q'(x) $ の表現を統合し、閉形式の分位数関数を導出する。非隣接順序統計量の場合には、加法的補正項 $ W(x;k,n) $ を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 隣接順序統計量と固定された $ a, b \geq 0 $, $ (a,b) \neq (0,0) $ に対して、$ X_{k,n} + a\xi_1 \stackrel{d}{=} X_{k+1,n} - b\xi_2 $ を満たす分布族は何か？
• RQ2 隣接順序統計量の場合に、母集団分布の分位数関数 $ Q(x) $ はパrameters $ a, b, k, n $ にどのように依存するか？
• RQ3 非隣接順序統計量（例：$ X_{k,n} + a\xi_1 \stackrel{d}{=} X_{k+2,n} - b\xi_2 $）を含む等式の場合、分位数関数の形はどのようなものか？
• RQ4 $ F^\alpha $-スキームを用いて、指数的ずれと極値順序統計量を含む分布的特徴づけを一般化できるか？
• RQ5 高階のスパACINGや複数の指数的ずれを含む場合、分位数関数の構造はどのようになるか？

主な発見

• 隣接順序統計量 $ X_{k,n} + a\xi_1 \stackrel{d}{=} X_{k+1,n} - b\xi_2 $ の場合、分位数関数は $ 0 < x < 1 $ に対して $ Q(x) = \log\left\{ c x^{bk} (1-x)^{-a(n-k)} \right\} $ で与えられ、$ c > 0 $ は任意の定数である。
• $ a = 1/(n-k) $, $ b = 0 $ の場合、分布は累積分布関数 $ F(x) = 1 - e^{-(x - c)} $（$ x \geq c $）をもつ指数分布である。
• $ a = 0 $, $ b = 1 $ の場合、分布は左端で切り詰められた指数分布であり、累積分布関数は $ F(x) = \exp(x - c) $（$ x \leq c $）である。
• $ bk = a(n-k) $ の場合、分布はロジスティック分布であり、累積分布関数は $ F(x) = \frac{c_1}{c_1 + \exp(-x)} $（$ c_1 > 0 $）である。
• 非隣接順序統計量 $ X_{k,n} + a\xi_1 \stackrel{d}{=} X_{k+2,n} - b\xi_2 $ の場合、分位数関数には加法的補正項 $ W(x;k,n) $ が含まれ、$ n = 2k+1 $ のとき線形関数となる。
• $ F^\alpha $-スキームの下では、分位数関数は $ Q(x) = \log\left\{ c x^{b\alpha} (1-x)^{-(a+b)\alpha - a} \right\} $ に一般化され、累積分布関数のべき変換を含む分布族が拡張される。