[論文レビュー] Characterizations of essential ideals as operator modules over C*-algebras

Masayoshi Kaneda, Vern I. Paulsen|ArXiv.org|Feb 16, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、C*-代数 A の本質的左イデアルを、それらが作用素 A-加群としての構造によって特徴づけ、C*-代数的意味での本質的性が、完全有界または完全収縮的加群写像の圏における A がイデアルのタイトまたはタイトでない本質的拡大であることと一致することを示している。主な貢献は、両側イデアルの場合、すべての本質的性の概念が一致することであり、A と J の内挿的包の完全等長同型が存在するための必要十分条件は J が本質的であることである。

ABSTRACT

In this paper we give characterizations of essential left ideals of a C*-algebra $A$ in terms of their properties as operator $A$-modules. Conversely, we seek C*-algebraic characterizations of those ideals $J$ in $A$ such that $A$ is an essential extension of $J$ in various categories of operator modules. In the case of two-sided ideals, we prove that all the above concepts coincide. We obtain results, analogous to {M. Hamana's} results, which characterize the injective envelope of a C*-algebra as a maximal essential extension of the C*-algebra, but with completely positive maps replaced by completely bounded module maps. By restricting to one-sided ideals, module actions reveal clear differences which do not show up in the two-sided case. Throughout this paper, module actions are crucial.

研究の動機と目的

• C*-代数 A の本質的左イデアルを、それらが作用素 A-加群としての構造を用いて特徴づける。
• 完全有界または完全収縮的 A-加群写像の圏において、A が左イデアル J の本質的拡大であるのはいつかを調査する。
• J が本質的である場合に、A と J の内挿的包が完全等長同型であるかを特定する。
• 特に一方向イデアルの場合に、C*-代数的意味での本質的性とモジュール圏における本質的拡大の違いを明確にする。
• 完全正値写像を完全有界加群写像に置き換えることで、M. Hamana の内挿的包に関する結果を拡張する。

提案手法

• 作用素加群理論を用いて、左イデアル J ⊆ A を作用素左 A-加群の圏の対象として分析する。
• J 上の恒等写像を拡張する完全有界または完全収縮的加群写像の一意性を用いて、本質的拡大を定義する。
• Hamana および Frank-Paulsen の内挿的包とタイトな内挿的性に関する結果を、作用素加群の文脈に適用する。
• 行列の拡大（M_n(X) において）を用いて作用素空間構造と加群作用を定義する。
• A が J に作用する非退化性と A·J が消えないことによって、本質的性を特徴づける。
• M_2(C) における反例（例：）を構成し、A が J の A-C*-本質的拡大であるからといって、J が左イデアルとして本質的であるとは限らないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左イデアル J ⊆ A が C*-代数的意味で本質的であるのはいつか、そしてこれは完全有界 A-加群写像の圏における A が J の本質的拡大であることとどのように関係するか？
• RQ2 両側イデアルの場合、さまざまな作用素加群圏における本質的性の概念が一致するか、そしてその理由は何か？
• RQ3 内挿的包 I(A) は、完全有界写像を伴う作用素左 A-加群の圏における A の最大の本質的拡大として特徴づけられるか？
• RQ4 一方、一方向の場合に逆が成り立たないのはなぜか：J が本質的左イデアルならば、I(A) と I(J) は J 上の恒等写像に制限される完全等長同型写像をもつのか？
• RQ5 A が完全有界 A-加群写像の圏において J の本質的拡大であるような左イデアル J に対する C*-代数的特徴づけは存在するか？

主な発見

• 両側イデアルの場合、C*-代数的意味での本質的性は、完全有界 A-加群写像の圏における A が J のタイトまたはタイトでない本質的拡大であることと同値である。
• A と J の内挿的包 I(A) と I(J) が、J 上で恒等写像に制限される完全等長同型写像をもつための必要十分条件は、J が A における本質的両側イデアルであることである。
• 一方向イデアルの場合、C*-代数的意味での本質的性は、完全有界 A-加群写像の圏における A が J の本質的拡大であることとは一致しない。
• A が A-C*-本質的拡大でない左イデアル J ⊆ A が存在するが、このようなイデアルは（収縮的）右単位元をもてない。
• A が B における本質的両側イデアルであるならば、A は [13] の意味で B をノルムづける、つまり M_n(B) の任意の行列のノルムが A 値の行および列行列を通じた作用によって決定づけられる。
• 任意の作用素空間に対して非タイトな内挿的包の存在は未解決のままであり、加群作用のない拡大の剛性についての結論は確立されていない。