[論文レビュー] Characterizations of Lojasiewicz inequalities and applications

Jérôme Bolte, Aris Daniilidis+2 more|ArXiv.org|Feb 6, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 32被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、一般の距離空間およびヒルバート空間における滑らかでない下に半連続な関数に対するKurdyka-Łojasiewicz (KŁ) 不等式の新しい特徴付けを提供し、それを度合いの正則性、部分勾配曲線の長さ、および近接勾配法の収束と結びつける。主な貢献は、区分的勾配曲線が一様に有界な長さを持つこととKŁ不等式が成り立つことの必要十分条件であることを確立することであり、最適化および力学系におけるグローバル収束への応用を含む。

ABSTRACT

The classical Lojasiewicz inequality and its extensions for partial differential equation problems (Simon) and to o-minimal structures (Kurdyka) have a considerable impact on the analysis of gradient-like methods and related problems: minimization methods, complexity theory, asymptotic analysis of dissipative partial differential equations, tame geometry. This paper provides alternative characterizations of this type of inequalities for nonsmooth lower semicontinuous functions defined on a metric or a real Hilbert space. In a metric context, we show that a generalized form of the Lojasiewicz inequality (hereby called the Kurdyka-Lojasiewicz inequality) relates to metric regularity and to the Lipschitz continuity of the sublevel mapping, yielding applications to discrete methods (strong convergence of the proximal algorithm). In a Hilbert setting we further establish that asymptotic properties of the semiflow generated by $-\partial f$ are strongly linked to this inequality. This is done by introducing the notion of a piecewise subgradient curve: such curves have uniformly bounded lengths if and only if the Kurdyka-Lojasiewicz inequality is satisfied. Further characterizations in terms of talweg lines -a concept linked to the location of the less steepest points at the level sets of $f$- and integrability conditions are given. In the convex case these results are significantly reinforced, allowing in particular to establish the asymptotic equivalence of discrete gradient methods and continuous gradient curves. On the other hand, a counterexample of a convex C^2 function in in the plane is constructed to illustrate the fact that, contrary to our intuition, and unless a specific growth condition is satisfied, convex functions may fail to fulfill the Kurdyka-Lojasiewicz inequality.

研究の動機と目的

• 滑らかでない下に半連続な関数に対するKurdyka-Łojasiewicz (KŁ) 不等式を、一般の距離空間およびヒルバート空間に拡張し、特徴づけること。
• KŁ不等式と度合いの正則性や、部分レベル写像のリプシッツ連続性といった基本的概念との関係を確立すること。
• −∂f によって生成される勾配フローの漸近的挙動を、区分的勾配曲線の概念を用いて分析すること。
• 凸関数の場合におけるKŁ不等式の妥当性とその意味を検討し、追加の成長条件がないと不成立となる反例を提示すること。
• 凸性とKŁ条件の下で、離散的勾配法と連続的勾配曲線の間の漸近的同値性を明示すること。

提案手法

• 距離空間上での下に半連続関数に対する一般化された形でのKurdyka-Łojasiewicz (KŁ) 不等式を導入し、φ ∈ K(0, r) で φ′ > 0 を満たす比較関数 φ を用いる。
• KŁ不等式が部分レベル写像 x ↦ {f ≤ r} の度合いの正則性および写像 x ↦ dist(x, {f ≤ r}) のリプシッツ連続性と同値であることを確立する。
• リプシッツ連続な曲線で、ほとんど everywhere で f の部分微分に属する導関数を持つものを区分的勾配曲線と定義し、そのような曲線が一様に有界な長さを持つこととKŁ不等式が成り立つことが必要十分であることを証明する。
• f の等高線に沿った勾配が最も緩やかな点（talweg線）を特定することで、KŁ不等式の幾何的特徴付けを提供する。
• ヒルバート空間において、KŁ不等式が近接勾配法の収束および勾配フローの漸近的収束を保証する条件を導出する。
• ℝ² 上のC²凸関数の反例を構成し、KŁ不等式を破ることを示し、凸性だけでは成長条件が追加されない限り不等式が成立しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない関数や無限次元空間において、古典的なC¹関数や解析関数を超えて、Kurdyka-Łojasiewicz不等式をどのように特徴づけられるか。
• RQ2 距離空間において、KŁ不等式と度合いの正則性、または部分レベル写像のリプシッツ連続性との明確な関係は何か。
• RQ3 区分的勾配曲線が一様に有界な長さを持つための条件は何か。また、それとKŁ不等式の関係は何か。
• RQ4 凸性がKŁ不等式を保証する程度は何か。また、KŁ不等式を満たさない凸関数は存在するか。
• RQ5 KŁ条件の下で、離散的勾配法と連続的勾配曲線の間の漸近的同値性をどのように厳密に確立できるか。

主な発見

• KŁ不等式が成り立つことは、写像 x ↦ {f ≤ r} が度合いの正則性を示し、局所的にリプシッツ連続であることと同値である。
• 区分的勾配曲線が一様に有界な長さを持つことは、KŁ不等式が成り立つことと同値であり、幾何的特徴付けを提供する。
• ヒルバート空間において、KŁ不等式は近接勾配法の強い収束を保証し、勾配フローの漸近的挙動を制御する。
• 凸関数において、KŁ不等式は部分勾配曲線に沿った勾配ノルムの逆関数の可積分性と同値である。
• ℝ² 上のC²凸関数を構成し、KŁ不等式を破ることを示した。これにより、凸性だけでは成長条件が追加されない限り不等式が成立しないことが示された。
• KŁ不等式と凸性の下で、離散的勾配法と連続的勾配曲線は漸近的に同値であり、離散的および連続的ダイナミクスを結びつける。