[論文レビュー] Characterizations of minimal dominating sets and the well-dominated property in lexicographic product graphs

Didem Gözüpek, Ademir Hujdurović+1 more|Repository of the University of Primorsk (University of Primorska)|Jan 20, 2017

Advanced Graph Theory Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、最小支配集合および最小全支配集合の一般化である非可約支配集合の概念を導入し、非自明な辞書的積グラフにおける最小支配集合を特徴づけるために用いる。主な貢献は、支配数が有界なクラスにおけるwell-dominatedグラフの多項式時間認識アルゴリズムを含む、well-dominated辞書的積グラフの完全な特徴づけであり、この分野における未解決問題を解決する。

ABSTRACT

A graph is said to be well-dominated if all its minimal dominating sets are of the same size. The class of well-dominated graphs forms a subclass of the well studied class of well-covered graphs. While the recognition problem for the class of well-covered graphs is known to be co-NP-complete, the recognition complexity of well-dominated graphs is open. In this paper we introduce the notion of an irreducible dominating set, a variant of dominating set generalizing both minimal dominating sets and minimal total dominating sets. Based on this notion, we characterize the family of minimal dominating sets in a lexicographic product of two graphs and derive a characterization of the well-dominated lexicographic product graphs. As a side result motivated by this study, we give a polynomially testable characterization of well-dominated graphs with domination number two, and show, more generally, that well-dominated graphs can be recognized in polynomial time in any class of graphs with bounded domination number. Our results include a characterization of dominating sets in lexicographic product graphs, which generalizes the expression for the domination number of such graphs following from works of Zhang et al. (2011) and of Šumenjak et al. (2012).

研究の動機と目的

• 辞書的積グラフにおける最小支配集合を統一的に特徴づける枠組みを構築すること。
• 支配数が有界なクラスにおけるwell-dominatedグラフの認識問題を解決すること。
• 新しい構造的概念「非可約支配集合」を導入することで、辞書的積における支配に関する既存の結果を拡張すること。
• well-dominated非自明な辞書的積グラフの特徴づけを提供すること。
• well-dominatedグラフとハイパーグラフのトランスバーサル問題との関係を探索し、アルゴリズム的認識に応用すること。

提案手法

• 最小支配集合および最小全支配集合の一般化である非可約支配集合の概念を導入する。
• 非自明な辞書的積グラフにおけるすべての最小支配集合を、非可約支配集合を用いて特徴づける。
• 因子から導かれるSpernerハイパーグラフの最小トランスバーサルと、辞書的積における最小支配集合との対応関係を確立する。
• EiterとGottlob（1995年）が示したように、ハイパーエッジのサイズが有界な場合、ハイパーグラフトランスバーサル問題は多項式時間で解けることを利用する。
• これにより、任意の固定されたkに対して、支配数kのwell-dominatedグラフが多項式時間で認識可能であることを示す。
• この枠組みを応用して、well-dominated辞書的積グラフの完全な特徴づけを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な辞書的積グラフにおける最小支配集合の構造は何か？
• RQ2 非可約支配集合の概念を用いて、well-dominated辞書的積グラフを特徴づけられるか？
• RQ3 支配数が有界なクラスにおけるwell-dominatedグラフの認識問題は、多項式時間で解けるか？
• RQ4 非可約支配集合は、最小支配集合および最小全支配集合とどのように関係するか？
• RQ5 同様の技術を用いて、すべての最小全支配集合のサイズが等しいwell-totally-dominatedグラフを特徴づけられるか？

主な発見

• 本稿では、非可約支配集合の概念を用いて、well-dominated非自明な辞書的積グラフの完全な特徴づけを提供する。
• 支配数kのwell-dominatedグラフが、任意の固定されたkに対して多項式時間で認識可能であることが証明され、このクラスにおける未解決問題が解決される。
• 支配数が有界な任意のグラフクラスにおいて、well-dominatedグラフの認識が多項式時間で可能であることが、ハイパーグラフトランスバーサル問題との関係から導かれる。
• 支配数2のwell-dominatedグラフに対して、その最小トランスバーサルの構造に基づく多項式時間でテスト可能な特徴づけが与えられる。
• この枠組みは、既知の辞書的積グラフの支配数に関する結果を一般化し、Zhangら（2011年）およびŠumenjakら（2012年）の先行研究を拡張する。
• 非可約支配集合が、最小支配集合および最小全支配集合の共通の一般化を形成することを示し、支配理論におけるより広範な応用可能性を示唆する。