[論文レビュー] Characterizations of regularity for certain $Q$-polynomial association schemes

Sho Suda|ArXiv.org|Oct 24, 2009

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、連結対称デザイン系および実数相互 unbiased 基底（MUB）から生じる $Q$-多項式関連体系における三重および四重正則性を特徴づける。三重正則性が $a_1^*=0$ と同値であることを証明し、最大 MUB が四重正則体系をもたらすことを示し、正則性は次元 $d$ に対してパラメータ $d/2+1$ で完全に特徴づけられる。結果として、極値的配置と関連体系における高次正則性との間の組合せ的同値性が確立される。

ABSTRACT

It is shown that linked systems of symmetric designs with $a_1^*=0$ and mutually unbiased bases (MUB) are triply regular association schemes. In this paper, we characterize triple regularity of linked systems of symmetric designs by its Krein number. And we prove that maximal MUB carries a quadruply regular association scheme and characterize the quadruple regularity of MUB by its parameter.

研究の動機と目的

• 連結対称デザイン系から導かれる $Q$-多項式関連体系における三重正則性を特徴づけること。
• 最大実数相互 unbiased 基底（MUB）における四重正則性の必要十分条件を確立すること。
• 四クラス $Q$-多項式関連体系が $Q$-双対的かつ $Q$-反対的である場合の組合せ的構造を明確にすること。
• パラメータ $a_1^*=0$ を持つ対称デザイン系の連結系が四重正則関連体系を生じるかを検討すること。
• 最大 MUB が五重正則関連体系を誘導するかを同定すること。

提案手法

• 連結対称デザイン系における三重正則性を特徴づけるために、クレイン数の分析を用いる。
• 4点の組の数え上げにコーシー＝シュワルツの不等式を適用し、四重正則性の必要条件を導出する。
• $X_1$ および $\bigcup_{i=2}^f X_i$ を含むインシデント構造の二重数え上げによる組合せ的数え上げを用いて、パラメータの制約を導出する。
• 最大 MUB から導かれる Kerdock に類似た二値符号の重み列挙子を分析し、強度5の直交配列性質を示す。
• 既知の最大 MUB と四クラス $Q$-多項式関連体系（$Q$-双対的かつ $Q$-反対的）との対応関係を活用する。
• 代数的数論を用いて、四重正則性のためには $v(v-1)(v+3)$ が平方数でなければならないことを示し、$v \geq 15$ の範囲では解が存在しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三クラス $Q$-多項式関連体系が $Q$-反対的性質を持つ場合、三重正則性は $a_1^*=0$ と同値であるか？
• RQ2 パラメータ $a_1^*=0$ を持つ対称デザイン系の連結系が四重正則関連体系を生じるか？
• RQ3 最大 MUB が四重正則関連体系を誘導するための必要十分条件は何か？
• RQ4 最大 MUB から四重正則体系が得られる場合、五重正則性が成立するか？
• RQ5 連結対称デザイン系において、4点の共通の隣接点数が一定であるという条件から生じる制約は何か？

主な発見

• 三クラス $Q$-多項式関連体系が $Q$-反対的性質を持つ場合、三重正則性が成立するのは $a_1^*=0$ のときに限る。これは、以前の結果の逆を確認するものである。
• 連結対称デザイン系におけるノダの不等式の等号成立は $a_1^*=0$ を意味し、これは三重正則性と同値である。
• $1<k<v-1$ かつ $v\geq15$ を満たす連結対称デザイン系は四重正則にはなり得ない。なぜなら、必要な式 $v(v-1)(v+3)$ が平方数であるための条件を満たす解がその範囲に存在しないからである。
• 次元 $d>4$ の $ dd{R}^d$ における最大 MUB は四重正則四クラス関連体系を生成し、その正則性はパラメータ $d/2+1$ で完全に特徴づけられる。
• 最大 MUB から導かれる Kerdock に類似た符号は強度5を有し、これは特定の関係において4点の共通隣接点数が一意に決定されることを示唆する。
• 最大 MUB から導かれる四重正則体系における交差数の整数性は、既知の $d = k^2/16$ 以外に新たな必要条件を生じない。