[論文レビュー] Characterizations of smooth spaces by $ ho_*$-orthogonality

Mohammad Sal Moslehian, Ali Zamani+1 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、実ノルム空間における $\rho_*^*$-直交性を導入し、解析する。線形作用素がこの直交性を保つ場合、任意の $x \in X$ に対して $\frac{1}{3}\|T\|\|x\| \leq \|Tx\| \leq 3[T]\|x\|$ というノルムの上限・下限が成り立つ。ここで $[T] = \inf_{\|x\|=1} \|Tx\|$ である。さらに、$(X, \perp_{\rho_*})$ が Rätz の意味での直交性空間をなしており、$\rho_*$-直交性を用いた滑らかなノルム空間の特徴づけも示している。

ABSTRACT

The aim of this paper is to present some results concerning the $\ ho_*$-orthogonality in real normed spaces and its preservation by linear operators. Among other things, we prove that if $T\\,: X \\longrightarrow Y$ is a nonzero linear $(I, \ ho_*)$-orthogonality preserving mapping between real normed spaces, then $$\\frac{1}{3}\\|T\\|\\|x\\|\\leq\\|Tx\\|\\leq 3[T]\\|x\\|, \\qquad (x\\in X)$$ where $[T]:=\\inf\\{\\|Tx\\|: \\,x\\in X, \\|x\\|=1\\}$. We also show that the pair $(X,\\perp_{\ ho_*})$ is an orthogonality space in the sense of R\\"{a}tz. Some characterizations of smooth spaces are given based on the $\ ho_*$-orthogonality.

研究の動機と目的

• 実ノルム空間における $\rho_*^*$-直交性の性質を調査すること。
• $\rho_*^*$-直交性を保つ線形作用素の挙動を研究すること。
• $\rho_*^*$-直交性を用いてノルム空間が滑らかである条件を確立すること。
• $(X, \perp_{\rho_*})$ が Rätz の意味での直交性空間の公理を満たすことを示すこと。
• $\rho_*^*$-直交性に関連する関数方程式および安定性結果を導出すること。

提案手法

• $\rho_-(x,y)\rho_+(x,y) = 0$ を用いて $\rho_*^*$-直交性を定義する：$x \perp_{\rho_*} y \Leftrightarrow \rho_-(x,y)\rho_+(x,y) = 0$。
• ノルム導出写像 $\rho_\pm(x,y) = \|x\| \lim_{t \to 0^\pm} \frac{\|x+ty\| - \|x\|}{t}$ を用いて直交性を特徴付ける。
• 平均値の定理を用いて、任意の2次元部分空間内で $x \perp_{\rho_*} y$ および $x+y \perp_{\rho_*} \lambda x - y$ を満たすベクトルを構成する。
• $\rho_*^*$-直交性が Rätz の直交性空間の公理を満たすことを証明し、抽象的直交性理論と整合性を持つことを保証する。
• 関数方程式の特徴づけを導出：$f(x+y) = f(x)+f(y)$ がすべての $x \perp_{\rho_*} y$ に対して成り立つことと、$f(x) = A(x) + B(x,x)$ かつ $x \perp_{\rho_*} y$ のとき $B(x,y)=0$ となることとは同値である。ここで $A$ は加法的で、$B$ は双加法的かつ対称的である。
• Hyers-Ulam型の安定性結果を確立：すべての $x \perp_{\rho_*} y$ に対して $\|f(x+y)-f(x)-f(y)\| \leq \varepsilon$ が成り立つならば、$f$ は $\frac{68}{3}\varepsilon$ の範囲内で加法的・二次的写像 $A(x) + Q(x)$ に一様に近い。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\rho_*^*$-直交性は、ノルム空間における Birkhoff–James 直交性、二等辺直交性、半内積直交性など他の直交性タイプとどのように関係しているか？
• RQ2 実ノルム空間間で $\rho_*^*$-直交性を保つ線形作用素に対して、どのようなノルムの上限・下限を確立できるか？
• RQ3 $\rho_*^*$-直交性を用いて、ノルム空間が滑らかである条件は何か？
• RQ4 ペア $(X, \perp_{\rho_*})$ は Rätz の意味での直交性空間の公理を満たすか？
• RQ5 $\rho_*^*$-直交性を含む関数方程式は、加法的および二次的成分に分解可能か？

主な発見

• 任意の非ゼロ線形 $(I, \rho_*)$-直交性を保つ写像 $T: X \to Y$ に対して、すべての $x \in X$ に対して $\frac{1}{3}\|T\|\|x\| \leq \|Tx\| \leq 3[T]\|x\|$ が成り立つ。ここで $[T] = \inf_{\|x\|=1} \|Tx\|$ である。
• ペア $(X, \perp_{\rho_*})$ は Rätz の意味での直交性空間であり、その構造に必要な公理を満たしている。
• 任意の2次元部分空間 $P$ と、すべての $x \in P$ および $\lambda \geq 0$ に対して、$x \perp_{\rho_*} y$ かつ $x+y \perp_{\rho_*} \lambda x - y$ を満たす $y \in P$ が存在する。
• 群 $G$ に倣うアーベル群 $G$ への写像 $f: X \to G$ がすべての $x \perp_{\rho_*} y$ に対して $f(x+y) = f(x)+f(y)$ を満たすことは、$f(x) = A(x) + B(x,x)$ かつ $x \perp_{\rho_*} y$ のとき $B(x,y)=0$ となることと同値である。ここで $A$ は加法的で、$B$ は双加法的かつ対称的である。
• 実バナッハ空間 $Y$ への写像 $f: X \to Y$ がすべての $x \perp_{\rho_*} y$ に対して $\|f(x+y)-f(x)-f(y)\| \leq \varepsilon$ を満たすならば、$f$ は $\frac{68}{3}\varepsilon$ の範囲内で加法的・二次的写像 $A(x) + Q(x)$ に一様に近い。