[論文レビュー] Characterizations of the $(b, c)$-inverse in a ring

Long Wang, Jianlong Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、直接和分解、零化イデアル、可逆元を用いて環における$(b,c)$-逆の複数の特徴づけを提供し、$(b,c)$-逆、ハイブリッド$(b,c)$-逆、零化イデアル$(b,c)$-逆の間の同値性を確立する。さらに、同じ$(b,c)$-イデムポテンスを持つ要素の特徴づけを行い、積$ad$の$(b,c)$-逆に対して逆順則$(ad)^{\frown(b,c)} = d^{\frown(b,c)}a^{\frown(b,c)}$が成り立つための必要十分条件を確立する。

ABSTRACT

Let $R$ be a ring and $b, c\in R$. In this paper, we give some characterizations of the $(b,c)$-inverse, in terms of the direct sum decomposition, the annihilator and the invertible elements. Moreover, elements with equal $(b,c)$-idempotents related to their $(b, c)$-inverses are characterized, and the reverse order rule for the $(b,c)$-inverse is considered.

研究の動機と目的

• 直接和分解、零化イデアル条件、可逆元を用いて、環における$(b,c)$-逆の新たな特徴づけを提供すること。
• 要素$b$と$c$が正則であるという条件下で、$(b,c)$-逆、ハイブリッド$(b,c)$-逆、零化イデアル$(b,c)$-逆の同値性を確立すること。
• その$(b,c)$-逆に関連する同じ$(b,c)$-イデムポテンスを持つ要素を特徴づけること。
• 積$ad$の$(b,c)$-逆に対して逆順則$(ad)^{\frown(b,c)} = d^{\frown(b,c)}a^{\frown(b,c)}$が成り立つための条件を調査すること。
• 画像・核$(p,q)$-逆理論の結果を、より広範な$(b,c)$-逆枠組みへ一般化すること。

提案手法

• 条件$yab = b$、$cay = c$、および$y \in (bRy) \cap (yRc)$を用いた$(b,c)$-逆の定義（$y = a^{\frown(b,c)}$）を用いる。
• $b$および$c$の像と核を用いた環$R$の直接和分解を適用し、イデムポテンスと零化イデアルの構造を活用する。
• 零化イデアル$l(a)$、$r(a)$およびそれらの左/右零化イデアルを用いて、$(b,c)$-逆の存在性と一意性を特徴づける。
• 要素$b$と$c$が正則であるという仮定の下で、$(b,c)$-逆、ハイブリッド$(b,c)$-逆、零化イデアル$(b,c)$-逆の同値性を用いる。
• $(b,c)$-逆の逆順則に関する必要十分条件を、$a^{\frown(b,c)}$、$d^{\frown(b,c)}$およびそれらの積を含む恒等式を用いて導出する。
• 正則性および群逆元に関する既知の結果を応用し、$a^{\frown(b,c)}a$および$aa^{\frown(b,c)}$がイデムポテンスである条件、およびそれらが異なる要素において等しくなる条件を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 要素$b$と$c$にどのような条件が課されると、$(b,c)$-逆が存在し、直接和分解を用いて特徴づけられるか？
• RQ2 $(b,c)$-逆、ハイブリッド$(b,c)$-逆、零化イデアル$(b,c)$-逆が同値となるのはいつか？
• RQ3 二つの要素$a$と$d$が、$(b,c)$-イデムポテンス$a^{\frown(b,c)}a$と$d^{\frown(b,c)}d$を等しく持つための条件は何か？
• RQ4 積の$(b,c)$-逆に対して逆順則$(ad)^{\frown(b,c)} = d^{\frown(b,c)}a^{\frown(b,c)}$が成り立つのはいつか？
• RQ5 $(b,c)$-イデムポテンス$a^{\frown(b,c)}a$および$aa^{\frown(b,c)}$は、$a^{\frown(b,c)}d$のような積の群逆元性とどのように関係するか？

主な発見

• 要素$b$と$c$が正則であるとき、$(b,c)$-逆、ハイブリッド$(b,c)$-逆、零化イデアル$(b,c)$-逆は同値である。
• $(b,c)$-逆が存在するための必要十分条件は、$Rb = Rt$および$cR = tR$（$t = cab$）が成り立つことである（補題2.1による）。
• $(b,c)$-イデムポテンス$a^{\frown(b,c)}a$および$aa^{\frown(b,c)}$は環$R$におけるイデムポテンスであり、二つの要素$a$と$d$に対してそれらが等しいことは、$a^{\frown(b,c)}d$の群逆元性によって特徴づけられる。
• 逆順則$(ad)^{\frown(b,c)} = d^{\frown(b,c)}a^{\frown(b,c)}$が成り立つのは、$d^{\frown(b,c)} = d^{\frown(b,c)}add^{rown(b,c)}a^{rown(b,c)}$および$a^{rown(b,c)} = a^{rown(b,c)}add^{rown(b,c)}a^{rown(b,c)}$が成り立つときであり、かつそのときに限る（定理4.4による）。
• もし$a^{rown(b,c)}a = dd^{rown(b,c)}$ならば、逆順則が成り立ち、この条件は$a^{rown(b,c)}dd^{rown(b,c)}a = dd^{rown(b,c)}aa^{rown(b,c)}$および$d^{rown(b,c)}da^{rown(b,c)}a = da^{rown(b,c)}ad^{rown(b,c)}$と同値である（定理4.5による）。
• $a^{rown(b,c)}a = dd^{rown(b,c)}$という条件は、$a^{rown(b,c)}d$が群逆元を持ち、$(a^{rown(b,c)}d)^{\text{\#}} = d^{rown(b,c)}a$であることを意味し、逆も成り立つ。これにより、逆順則のための群逆元性基準が確立される。