[論文レビュー] Characterizations of uniformly differentiable co-horizontal intrinsic graphs in Carnot groups

Gioacchino Antonelli, Daniela Di Donato+2 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、左不変ベクトル場の射影に 沿ったグラフのホルダー正則性と内在的微分可能性を結びつけることによって、カルノー群における一様内在的微分可能（UID）な共水平内在的グラフの特徴づけを確立する。主な貢献は、2段階カルノー群において、UID正則性と内在的微分の広義ホルダー正則性との完全な同値性を示し、UID 実数値写像に対して明示的な面積公式を確立することにある。

ABSTRACT

In arbitrary Carnot groups we study intrinsic graphs of maps with horizontal target. These graphs are $C^1_H$ regular exactly when the map is uniformly intrinsically differentiable. Our first main result characterizes the uniformly intrinsic differentiability by means of Hölder properties along the projections of left-invariant vector fields on the graph. We strengthen the result in step-2 Carnot groups for intrinsic real-valued maps by only requiring horizontal regularity. We remark that such a refinement is not possible already in the easiest step-3 group. As a by-product of independent interest, in every Carnot group we prove an area-formula for uniformly intrinsically differentiable real-valued maps. We also explicitly write the area element in terms of the intrinsic derivatives of the map.

研究の動機と目的

• 任意のカルノー群における一様内在的微分可能（UID）な内在的グラフを、内在的ベクトル場に 沿ったホルダー型正則性を用いて特徴づけること。
• 2段階カルノー群において、内在的微分の水平正則性が UID 正則性を意味することを示すことにより、内在的 $ C^1_{\rm H} $ 表面の正則性理論を精緻化すること。
• 任意のカルノー群における一様内在的微分可能実数値写像に対して、一般の面積公式を確立し、面積要素を内在的微分の形で明示的に表現すること。
• 高次元段階のカルノー群では、広義*ホルダー正則性から小ホルダー正則性への精緻化が不可能であることを示し、構造的制限を強調すること。

提案手法

• 左不変ベクトル場の水平部分群からの射影を用いて、内在的グラフの正則性を分析する内在的射影ベクトル場 $ D^\varphi $ を導入する。
• 分布の意味で内在的微分の振る舞いを捉える一般化された正則性概念として、広義*解を定義する。
• 小ホルダー連続性（$ h^\alpha $）の概念を用いて、$ D^\varphi $ の積分曲線に 沿った写像 $ \varphi $ の正則性を特徴づけ、これと UID 正則性を結びつける。
• codimension-one 内在的グラフの面積公式を適用し、ハウスドルフ測度を内在的微分 $ \mathrm{d}^\varphi\varphi $ の形で表現することで、明示的な面積要素を導出する。
• 主な同値性を2段階自由カルノー群への座標同定による還元を用いて、2段階の場合を証明する。
• UID 正則性と、$ D^\varphi\varphi = \omega $ が広義*の意味で成り立つ連続関数 $ \omega \in C(U;\mathbb{R}^{m-1}) $ の存在との同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のカルノー群における一様内在的微分可能内在的グラフは、どのように特徴づけられるか？
• RQ2 内在的グラフの正則性は、左不変ベクトル場の射影に 沿った写像のホルダー正則性のみで特徴づけられるか？
• RQ3 2段階カルノー群において、内在的微分の水平正則性は一様内在的微分可能性を意味するか？
• RQ4 高次段階のカルノー群において、UID 写像の特徴づけにおいて広義*正則性を小ホルダー正則性に置き換えることは可能か？
• RQ5 一般のカルノー群における一様内在的微分可能実数値写像の明示的面積公式はどのような形か？

主な発見

• 任意のカルノー群において、写像 $ \varphi $ が一様内在的微分可能であるための必要十分条件は、$ D^\varphi $ の積分曲線に 沿った制限が小ホルダー連続であることである。
• 1次元水平像を持つ2段階カルノー群において、UID 正則性は、$ D^\varphi\varphi = \omega $ が広義*の意味で成り立つ連続関数 $ \omega \in C(U;\mathbb{R}^{m-1}) $ の存在と同値である。
• codimension-one UID 内在的グラフの面積公式は、グラフの $ \mathscr{S}^n $-測度を内在的微分 $ \mathrm{d}^\varphi\varphi $ の形で表現し、内在的微分のヤコビアンを含む明示的な面積要素を含む。
• 2段階群における広義*から小ホルダー正則性への精緻化は最適である：このような精緻化は、最も単純な3段階カルノー群では失敗するため、結果が鋭いかどうかが示される。
• 任意のカルノー群における実数値写像に対して、面積公式は面積要素が $ \sqrt{1 + \sum_{j=1}^{m-k} |\nabla^\varphi_j \varphi|^2} $ で与えられることにより成り立つ。ここで $ \nabla^\varphi_j \varphi $ は内在的偏微分を表す。
• 2段階群における UID と広義*解の同値性は、リー代数の構造と指数座標を用いた自由カルノー群への還元により確立される。