[論文レビュー] Characterizing extremal coefficient functions and extremal correlation functions

Kirstin Strokorb, Martin Schlather|arXiv (Cornell University)|May 7, 2012

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、完全交互性の概念を用いて、極値係数関数および極値相関関数の完全な特徴付けを、極安定確率場に対して行う。これらの関数に対する必要十分条件を確立し、連続性のもとで凸結合、積、および点별極限に関しての閉包性を証明するとともに、ℝᵈ 上の定常場に関して構造的結果を導出し、依存関数クラスにおける真の包含関係を明らかにする。

ABSTRACT

We focus on two dependency quantities of a max-stable random field $X$ on some space $T$: the extremal coefficient function $θ$ which we define on finite sets of $T$ and the extremal correlation function $χ(s,t)=\lim_{x \uparrow \infty} \PP(X_s \geq x \mid X_t \geq x)$. We fully characterize extremal coefficient functions $θ$ by a property called complete alternation and construct a corresponding max-stable random field. Simple properties and consequences concerning the convex geometry of extremal coefficients are derived. We study how the continuity of $X$, $θ$ and $χ$ are linked to each other, and we show that extremal correlation functions $χ$ allow for convex combinations in general, and for products and pointwise limits if the resulting function is continuous. These are operations which are well-known for positive definite functions, but the latter are non-trivial for extremal correlation functions. Finally, we regard some additional implications, when the random field $X$ on $T=\mathbb{R}^d$ is stationary.

研究の動機と目的

• 一般のインデックス空間 T における極安定確率場の極値係数関数を完全交互性の性質を用いて完全に特徴付けること。
• 極値相関関数の必要十分条件を確立し、連続性のもとで凸結合、積、および点別極限に関しての閉包性を示すこと。
• 極安定確率場の連続性、その極値係数関数、および極値相関関数の間の相互関係を調査すること。
• ℝᵈ 上の定常極安定確率場に関する構造的結果を導出し、依存関数クラスにおける真の包含関係を明らかにすること。
• 従来の尾部依存性および extremogram に類似する関数の結果を、より広い空間的極値依存測度のクラスへと拡張すること。

提案手法

• 本稿は、空間的インデックス集合 T の有限部分集合上に定義された極値係数関数 θ を定義し、それが極安定場に対応するための必要十分条件として完全交互性の性質を特徴付ける。
• 符号付き測度に基づくスペクトル表現を用いて、完全交互な極値係数関数から明示的に極安定確率場を構成する。
• 極値係数の凸幾何学的性質を分析し、正定値関数と関連づけ、連続性のもとで凸結合および積に関する閉包性を同定する。
• ℝᵈ 上の定常場に関して、平行移動不変性を含む θ および χ に関する条件を導出し、ポアソン点過程を用いてコンパクトな台を持つ極値相関関数を持つ例を構成する。
• 任意の Bernstein 関数 g に対して、η = 1 − χ が三角不等式を満たすことを証明し、既知の文献結果を一般化する。
• 正定値関数およびスペクトル測度の理論を用いて、異なるモデル（二項型および極安定型）から生じる極値相関関数クラスを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のインデックス空間 T における極安定確率場の極値係数関数となるための必要十分条件は何か？
• RQ2 どの演算が極値相関関数のクラスを保ち、かつ凸結合、積、および点別極限に関して閉じるか？その条件は何か？
• RQ3 極安定確率場の連続性、その極値係数関数、および極値相関関数の間には、どのように相互関係があるか？
• RQ4 ℝᵈ 上の定常極安定場の極値相関関数と、二項型のような単純なモデルのそれとの間には、どのような構造的差異があるか？
• RQ5 定常極安定場において、コンパクトな台を持つ極値相関関数が存在しうるか？また、それらは単純なモデルのそれらとどのように比較できるか？

主な発見

• 関数 θ が極安定確率場の極値係数関数であるための必要十分条件は、完全交互であることである。これは空間的設定における完全な特徴付けを提供する。
• 極値相関関数 χ は凸結合に関して閉じており、連続性のもとで点別極限および積に関しても閉じている。これは正定値関数に既知の性質を拡張するものである。
• ℝᵈ 上の定常極安定場に関して、極値係数関数 θ は平行移動不変かつ完全交互でなければならず、θ({t}) = 1 および θ(∅) = 0 を満たす必要がある。
• 定常二項型場の極値相関関数の集合は、定常極安定型場のそれよりも真に小さい部分集合である。これは、後者により豊かな依存構造が存在することを示唆する。
• コンパクトな台を持つ極値相関関数は、定常極安定型場に存在する。これは、コンパクト集合 A ⊂ ℝᵈ を含む強度測度を用いたポアソン点過程の構成によって示された。
• 関数 η = 1 − χ は、任意の Bernstein 関数 g に対して、一般化された三角不等式 g∘η(s±t) ≤ g∘η(s) + g∘η(t) を満たす。これは、χ が定数でない限り原点で非微分可能であることを意味する。