[論文レビュー] Characterizing linear groups in terms of growth properties

Khalid Bou-Rabee, D. B. McReynolds|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2014

Finite Group Theory Research参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、双曲的群において、線形性が2つの残差有限性関数の多項式的成長率によって特徴付けられることを確立している。1つは有限体上の線形表現の最小サイズを測る関数（$\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{L}}(m)$）であり、もう1つは有限単純群商の最小サイズを測る関数（$\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{S}}}(m)$）である。主な結果は、いずれの関数においても多項式的成長が成立するならば、群が体上の忠実な線形表現を持つことと同値であることを示している。

ABSTRACT

Residual finiteness growth measures how well-approximated a group is by its finite quotients. We prove that some related growth functions characterize linearity for a class of groups including all hyperbolic groups.

研究の動機と目的

• 双曲的群が線形である条件を、残差有限性関数の成長率を用いて特徴づけること。
• $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{L}}(m)$ もしくは $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{S}}(m)$ の多項式的成長が忠実な線形表現の存在を示すことの証明。
• 体の特徴に依存しない群論的特徴づけを、双曲的群の線形性について提供すること。
• 超積と表現論を用いて、残差有限性の成長基準と線形表現可能性を統一すること。

提案手法

• 非自明な元 $\gamma\in\Gamma$ を検出する有限商、線形群、有限単純群の最小サイズを測る3つの関数 $\operatorname{D}_{\Gamma}(\gamma)$, $\operatorname{L}_{\Gamma}(\gamma)$, および $\operatorname{S}_{\Gamma}(\gamma)$ を定義する。
• 単語長 $\leq m$ の要素について $\operatorname{L}_{\Gamma}(\gamma)$ および $\operatorname{S}_{\Gamma}(\gamma)$ の最大値をとる関数 $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{L}}(m)$ と $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{S}}(m)$ を導入する。
• 制御された表現成長を示す有限群の列から、有界射影的ランク条件と超積技術を用いて忠実な線形表現を構成する。
• 誘導と表現誘導（$\mathrm{Ind}_{\Gamma_0}^{\Gamma}$）を用い、有限指数正規部分群から元の群へ表現を拡張する。
• 一様強力 $p$-フィルトレーションおよび部分群 $\zeta$-関数に関する結果を活用し、成長率とザリスキ閉包次元を関連付ける。
• $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{L}}(m)$ もしくは $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{S}}(m)$ の多項式的成長と、$\mathrm{GL}(n,\mathbf{K})$ への忠実な線形表現の存在との同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的群における最小線形群サイズ $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{L}}(m)$ の多項式的成長は、線形性を特徴づけるか？
• RQ2 最小有限単純群商サイズ $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{S}}(m)$ も同様に線形性を特徴づけるか？
• RQ3 双曲的群において、線形群および単純群の残差有限性関数の成長に一様な同値関係が存在するか？
• RQ4 有限商の有界射影的ランクが忠実な線形表現の存在を示唆するか？
• RQ5 残差有限性関数の成長率は、線形表現のザリスキ閉包次元とどのように関係するか？

主な発見

• 双曲的群 $\Gamma$ に対して、ある $D\in\mathbf{N}$ が存在し $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{L}}(m)\preceq m^D$ が成り立つことと、$\Gamma$ が体上に線形的であることは同値である。
• $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{S}}(m)$ の多項式的成長、すなわち $\operatorname{F}_{\Gamma,\operatorname{S}}(m)\preceq m^{D'}$ は、$\Gamma$ の線形性を特徴づける。
• 有限指数、ねじれなし、一様にマラベルジャンな正規部分群 $\Gamma_0\leq\Gamma$ の存在により、問題をこの部分群に還元可能である。
• $\Gamma_0$ において $\operatorname{F}_{\Gamma_0,\operatorname{L}}(m)$ もしくは $\operatorname{F}_{\Gamma_0,\operatorname{S}}(m)$ が多項式的成長を示せば、$\Gamma$ に対しても同様であり、逆も成り立つ。
• 群 $\Gamma$ が線形的であるならば、非自明な元 $\gamma$ を検出する最小有限単純群のサイズは、$\operatorname{S}_{\Gamma}(\gamma)\leq C'\|\gamma\|^{D}$ を満たす $C', D\in\mathbf{N}$ が存在する。
• 証明では、有界射影的ランクを持つ有限群の超積を用い、補題2.1と有界ランク条件に依存して、体上の忠実な線形表現を構成している。