[論文レビュー] Characterizing (non-)Markovianity through Fisher Information

Paolo Abiuso, Matteo Scandi+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2022

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、古典的確率的系におけるマーカフ的および非マーカフ的ダイナミクスを特徴付けるための基本的ツールとしてフィッシャー情報計量が果たす役割を確立している。マーカフ的性質が、すべての状態においてフィッシャー計量の単調な収縮と同値であることを証明し、非マーカフ的挙動がベイズ的後向き推論を用いて検出可能な情報の逆流に対応することを示している。さらに、操作的ウィtnessとしてのフィッシャー距離に基づく手法は、特定の事後処理を施さない限り非マーカフ的性質を検出できないことを示しており、CP-可除性を用いた形式により、すべての結果を量子ダイナミクスへと拡張している。

ABSTRACT

A non-isolated physical system typically loses information to its environment, and when such loss is irreversible the evolution is said to be Markovian. Non-Markovian effects are studied by monitoring how information quantifiers, such as the distance between physical states, evolve in time. Here we show that the Fisher information metric emerges as a natural object to study in this context; we fully characterize the relation between its contractivity properties and Markovianity, both from the mathematical and operational point of view. We prove, both for classical and quantum dynamics, that Markovianity is equivalent to the monotonous contraction of the Fisher metric at all points of the set of states. At the same time, operational witnesses of non-Markovianity based on the dilation of the Fisher distance cannot, in general, detect all non-Markovian evolutions, unless specific physical postprocessing is applied to the dynamics. Finally, we show for the first time that non-Markovian dilations of Fisher distance between states at any time correspond to backflow of information about the initial state of the dynamics at time 0, via Bayesian retrodiction.

研究の動機と目的

• 古典的確率的系におけるフィッシャー情報計量の収縮性とマーカフ的ダイナミクスとの間の厳密な関係を確立すること。
• フィッシャー距離に基づく操作的ウィtnessが、非マーカフ的進化のすべての形を検出できるかどうかを調査すること。
• ベイズ的後向き推論を用いて、非マーカフ的性質の物理的解釈を情報の逆流という観点から明確にすること。
• 標準的なCP-可除性形式を用いて、古典的枠組みを量子ダイナミクスへと拡張すること。
• フィッシャーに基づくウィtnessが、非マーカフ的進化のすべてを検出可能とするために、ダイナミクスの事後処理が必要であることを示すこと。

提案手法

• 本稿では、フィッシャー内積 $\left\langle \bm{a}, \bm{b} \right\rangle_{\bm{p}} = \sum_i \frac{a_i b_i}{2p_i}$ を用いて、近接する確率分布間の無限小二乗距離としてフィッシャー情報計量を定義する。
• 微分幾何学および確率過程論を用いて、マーカフ的ダイナミクスが、状態空間のすべての点でフィッシャー計量の単調な収縮と同値であることを証明する。
• フィッシャー距離における非マーカフ的信号の強調を目的として、事後処理フィルタ $F^{(\varepsilon)}_{\pi}[\sigma] = (1-\varepsilon)\pi + \varepsilon\sigma$ を導入する。
• このフィルタ下でのフィッシャー距離の微分が、トレース距離の変化率に比例することを示し、$\frac{d}{dt}|\delta\rho|_{\rm Tr}^2$ を用いた非マーカフ的性質の検出が可能になることを示す。
• 量子系への拡張は、古典的結果を量子フィッシャー情報計量へと持ち上げ、CP-可除性条件を用いることで実現する。
• ベイズ的後向き推論を用いて、非マーカフ的挙動を初期状態に関する情報の逆流として解釈し、操作的検出と情報理論的原則を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的確率的ダイナミクスにおいて、マーカフ的性質は、状態空間のすべての点でフィッシャー計量の単調な収縮と同値であるか？
• RQ2 追加の事後処理なしに、フィッシャー距離に基づく操作的ウィtnessは、非マーカフ的進化のすべてを検出できるか？
• RQ3 非マーカフ的性質の物理的解釈としての情報の逆流とは何か？ そして、ベイズ的後向き推論とどのように関連しているか？
• RQ4 非マーカフ的性質の特徴づけにおいて、フィッシャー情報計量はトレース距離などの他の情報量計測器とどのように関係しているか？
• RQ5 フィッシャーに基づく非マーカフ的性質検出の古典的枠組みは、一貫的に量子ダイナミクスへと拡張可能か？

主な発見

• マーカフ的性質は、数学的にも操作的にも、状態空間のすべての点でフィッシャー計量の単調な収縮と同値である。
• 特定の物理的事後処理を施さない限り、フィッシャー距離に基づく操作的ウィtnessだけでは、すべての非マーカフ的進化を検出できない。
• フィッシャー距離の非マーカフ的拡張は、ベイズ的後向き推論によって明らかになる、初期状態に関する情報の逆流に対応する。
• 事後処理フィルタ $F^{(\varepsilon)}_{\rho_{\delta\rho}}$ 下でのフィッシャー距離の微分は、トレース距離の変化率に比例し、非マーカフ的性質の検出を可能にする。
• このようなフィルタの構築には、摂動 $\delta\rho(t)$ の事前知識が必要であり、一般のウィtnessとしての実用的利用を制限する。
• すべての古典的結果は、標準的なCP-可除性フレームワークを用いて量子ダイナミクスへと持ち上げられ、フィッシャーに基づく非マーカフ的性質の特徴づけに対する一貫した量子拡張が確立される。