[論文レビュー] Characterizing volume via cone duality

Jian Xiao|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ケーラー多様体上の1次元サイクルに対して、ケーラー錐と正の$(n-1,n-1)$--currentsの錐の双対性を用いて、交差理論的体積関数を導入する。この体積関数は、交差数の下界として特徴づけられ、古典的な除数の体積を一般化し、モビリティ関数と密接に関係しており、フジタ近似やカラビ＝ヤウ計量への応用を含む。

ABSTRACT

For divisors over smooth projective varieties, we show that the volume can be characterized by the duality between pseudo-effective cone of divisors and movable cone of curves. Inspired by this result, we give and study a natural intersection-theoretic volume functional for 1-cycles over compact Kähler manifolds. In particular, for numerical equivalence classes of curves over projective varieties, it is closely related to the mobility functional.

研究の動機と目的

• コンpactケーラー多様体上の1次元サイクルに、双対性原理を用いて除数の体積概念を拡張すること。
• 曲線の数値同値類に対して、新しい交差理論的体積関数を定義すること。
• 新しい体積関数の連続性、凹性、正定値性の基準を確立すること。
• 既存の不変量（モビリティやカラビ＝ヤウ計量など）との関係を調査すること。
• 高余次元サイクル類への体積関数の定義の一般枠組みを提案すること。

提案手法

• 体積1のケーラー類の下で、1次元サイクル類の体積を下界として定義する：$\widehat{vol}_{\mathcal{N}}(\gamma) = \inf_{\beta \in \mathcal{K}_1} \max(\langle \beta, \gamma \rangle, 0)^{n/(n-1)}$。
• ケーラー錐$\mathcal{K}$と正の$(n-1,n-1)$-currentsの錐$\mathcal{N}$との間の錐の双対性を用いて、関数を導出する。
• 特異カラビ＝ヤウ定理を活用し、与えられた体積形式を持つマソン＝アームペール方程式の解と体積を関連付ける。
• マソン＝アームペール方程式の解から生じる定数$c_{\Phi,\omega}$の下界を用いて、新しい不変量$\mathfrak{M}_{CY}(\gamma)$を定義する。
• ルジャンドル＝フェンケル型双対性を用いて、高余次元サイクル類への構成を一般化する。
• 錐の双対性$\mathcal{K}^\vee = \mathcal{N}$と可動錐の構造を用いて、連続性および内部での厳密な正定値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトケーラー多様体上の1次元サイクルの体積は、除数と同様に、錐の双対性によって特徴づけられるか？
• RQ2 新しい体積関数はサイクルのモビリティ関数とどのように関係するか？
• RQ3 新しい体積関数は、1次元サイクルのネロン＝セバーリ空間全体で連続的かつ凹的か？
• RQ4 双対性原理を用いて、体積関数を高余次元サイクル類に拡張できるか？
• RQ5 すべてのオーガドゥロンクラスに対して、不変量$\mathfrak{M}_{CY}$と$\mathfrak{M}$は一致するか？

主な発見

• 1次元サイクル類$\gamma$の体積は、$\widehat{vol}_{\mathcal{N}}(\gamma) = \inf_{\beta \in \mathcal{K}_1} \max(\langle \beta, \gamma \rangle, 0)^{n/(n-1)}$として与えられ、$H^{n-1,n-1}_{BC}(X,\mathbb{R})$上で連続的かつ凹的である。
• 関数$\widehat{vol}_{\mathcal{N}}(\gamma)$が正であることは、$\gamma$が錐$\mathcal{N}$の内部にあることと同値である。
• 新しい体積関数はモビリティ関数と密接に関係しており、ケーラー類の場合には両者が一致する。
• マソン＝アームペール方程式の解を用いて定義される不変量$\mathfrak{M}_{CY}(\gamma)$は、すべてのオーガドゥロンクラス$\gamma$に対して$\mathfrak{M}_{CY}(\gamma) \leq \mathfrak{M}(\gamma)$を満たし、ケーラー類では等号が成り立つ。
• ルジャンドル＝フェンケル型双対性を用いて、高余次元への構成は一般化可能であるが、$k \neq n-1$のときの$\mathcal{N}_k$の双対構造は未解決のままである。
• 体積関数$\mathfrak{M}_{CY}(\gamma)$は、任意の体積形式およびオーガドゥロン計量の下での下界を含む定義にもかかわらず、コンパクトケーラー多様体上で常に有限である。