[論文レビュー] Characters of Crossed Modules and Premodular Categories

P. Bántay|ArXiv.org|Dec 23, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、有限交叉モジュールに任意の前モジュラー圏を関連付ける構成を提示し、有限群の表現カテゴリーやそのダブルの一般化を含む。主な結果は、このカテゴリのS行列が $S^8 = S^4$ を満たすことであり、これは一般にはモジュラーでないことを示しており、境界写像が単射のとき、モジュラー化によってモジュラーになる。

ABSTRACT

A general procedure is presented which associates to a finite crossed module a premodular category, generalizing the representation categories of a finite group and of its double, and the extent to which the resulting category fails to be modular is explained.

研究の動機と目的

• 有限群およびそのダブルからモジュラーテンソルカテゴリを構成する方法を、より広い代数的構造のクラスへ一般化すること。
• 有限交叉モジュールにバーナックテンソルカテゴリを体系的に関連付けるフレームワークを構築すること。
• 得られたカテゴリがどの程度モジュラーでないか、特にそのS行列の性質を通じて分析すること。
• 前モジュラーカテゴリが真のモジュラーテンソルカテゴリにモジュラー化可能となる条件を同定すること。
• 交叉モジュールとコンformal field theoryにおける一般化されたオルビフォールド理論との関係を探索すること。

提案手法

• 有限交叉モジュール $\mathcal{X} = (\mathcal{X}_1, \mathcal{X}_2, \mu, \partial)$ に付随するテンソルカテゴリ $\mathscr{M}(\mathcal{X})$ を定義し、群作用の整合性条件を満たす三つ組 $(V, P, Q)$ を対象とする。
• 既約表現を用いて交叉モジュールの特徴を導入し、$S_{pq} = \sum_{x \in \mathcal{X}_1} \omega_p(x) \overline{\omega_q(x)} \delta_{\partial x, 1}$ で定義される文字表の成分 $S_{pq}$ を用いる。
• ヴェルリンデ型の融合則の公式を導出し、$N_{pq}^r S_{rs} = \frac{S_{ps} S_{qs}}{S_{\mathbf{1}s}}$ および $\sum_r N_{pq}^r \omega_r^{-1} S_{\mathbf{1}r} = \omega_p^{-1} \omega_q^{-1} S_{pq}$ を示す。
• 一般にモジュラー性に失敗することを示すために、$S^8 = S^4$ の関係を用いてS行列を分析する。
• $\partial$ が単射でない限り、真空対象 $\mathbf{\underline{0}}$ は可約であり、各既約成分 $p$ に対して重複度 $\mu_p = D [S^2]_{\mathbf{1}p}$ を持つ。
• ブルギエールスのモジュラー化可能性基準を適用し、$\mathbf{\underline{0}}$ の既約成分がすべての $q$ に対して $S_{pq} = \alpha S_{\mathbf{1}q}$ を満たすとき、$\mathscr{M}(\mathcal{X})$ がモジュラーテンソルカテゴリに変換可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限交叉モジュールから前モジュラーカテゴリを体系的にどのように構成できるか。
• RQ2 得られたカテゴリのS行列が非可逆である理由は何か、そしてこれはモジュラー性にどのような意味を持つのか。
• RQ3 境界写像 $\partial$ にどのような条件が課されるとカテゴリがモジュラーになるか。
• RQ4 この構成における融合則と文字公式は、ヴェルリンデの公式をどのように一般化するか。
• RQ5 前モジュラーカテゴリはモジュラー化可能か、そしてその意義は一般化されたオルビフォールドCFTにおいて何を意味するか。

主な発見

• カテゴリ $\mathscr{M}(\mathcal{X})$ のS行列は $S^8 = S^4$ を満たしており、これは一般には可逆ではなく、したがってカテゴリは一般にはモジュラーでないことを示している。
• 真空対象 $\mathbf{\underline{0}}$ は $\partial$ が単射でない限り可約であり、各既約成分 $p$ に対して重複度 $\mu_p = D [S^2]_{\mathbf{1}p}$ を持つ。
• すべての $q$ に対して $S_{pq} = \alpha S_{\mathbf{1}q}$ を満たす既約対象 $p$ は、$\mathbf{\underline{0}}$ の分解に現れるものに限り、このとき $\omega_p = 1$ かつ $\alpha = d_p$ である。
• $\mathscr{M}(\mathcal{X})$ がモジュラーであるのは $\partial$ が単射である場合に限られ、これは $\mathcal{X}$ がある有限群 $G$ に対して $\mathcal{D}G$ に同型であることと同値である。
• カテゴリはヴェルリンデ型の公式を満たす：$N_{pq}^r S_{rs} = \frac{S_{ps} S_{qs}}{S_{\mathbf{1}s}}$ および $\sum_r N_{pq}^r \omega_r^{-1} S_{\mathbf{1}r} = \omega_p^{-1} \omega_q^{-1} S_{pq}$。
• ブルギエールスのモジュラー化可能性基準が適用可能であり、$S^2$ の核による商をとることで $\mathscr{M}(\mathcal{X})$ を一意にモジュラーテンソルカテゴリに変換可能である。