[論文レビュー] Characters of irreducible modules with non-critical highest weights over affine Lie algebras

Masaki Kashiwara, Toshiyuki Tanisaki|ArXiv.org|Mar 22, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 39

ひとこと要約

この論文は、アフィンリー代数の任意の非臨界最高ウェイトを持つ既約最高ウェイト加群について、有理数の場合の拡張として、移動関手、Enright関手、Jantzenの変形論的議論を用いて、Kazhdan-Lusztig型のキャラクター公式を確立する。主な結果は、Kazhdan-Lusztig多項式とヴェルマ加群のキャラクターを用いた明示的なキャラクター公式であり、整数的根系に関する正または負のワイル・チェンバに属するウェイトに対して有効である。

ABSTRACT

We shall derive Kazhdan-Lusztig type character formula for the irreducible modules with arbitrary non-critical highest weights over affine Lie algebras from the rational case by using the translation functor, the Enright functor and Jantzen's deformation argument.

研究の動機と目的

• アフィンリー代数の任意の非臨界最高ウェイトを持つ既約最高ウェイト加群のキャラクター公式を導出すること。
• 有理数の非臨界最高ウェイトに対する既知のキャラクター公式を、一般の非臨界ケースに拡張すること。
• 表現論的関手と変形技法を用いて、一様なキャラクター公式を確立すること。
• 有限次元からアフィンリー代数へのKazhdan-Lusztigアプローチの非臨界設定における一般化。

提案手法

• 著者たちは、任意の非臨界ウェイトを有理数ウェイトに関連付けるために、移動関手を用いる。
• ワイル群作用下での最高ウェイト加群の構造を制御するために、Enright関手を適用する。
• 一般ケースを有理数ケースに還元するために、Jantzenの変形論的議論を用いる。
• キャラクター公式は、逆Kazhdan-Lusztig多項式 $ Q^{ ho}_{y,w}(q) $ とワイル群 $ W( ho) $ 上のブルハット順序を用いて導出される。
• 一般ケースを有限次元リー代数に還元するために、$ b{Q} mid ho $ のとき、放物型部分代数 $ rak{p}_J $ に制限する。
• 有限次元からアフィン設定へのキャラクター転送を保証するため、同型 $ U(rak{g}) igotimes_{U(rak{p}_J)} L_J( ho) o L( ho) $ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非臨界最高ウェイトを持つ既約加群のキャラクター公式を、アフィンリー代数上の有理数ケースから一般非臨界ケースにどのように拡張できるか。
• RQ2 移動関手とEnright関手は、異なる最高ウェイト加群をどのように関連付けるか。
• RQ3 Jantzenの変形論的議論は、一般ウェイトから有理数ウェイトへの還元をどのように支援するか。
• RQ4 Kazhdan-Lusztig多項式は、アフィン設定における既約加群のキャラクターをどのように規定するか。
• RQ5 誘導加群 $ U(rak{g}) igotimes_{U(rak{p}_J)} L_J( ho) $ が、既約加群 $ L( ho) $ を与える条件は何か。

主な発見

• ウェイト $ w $ がそのコセット $ wW_0( ho) $ における最長元であり、かつ $ ho otin b{C} imes b{Q} imes ext{Im} ho $ のとき、既約加群 $ L(w ullet ho) $ のキャラクターは、ワイル群 $ W( ho) $ における和として表され、$ q=1 $ における逆Kazhdan-Lusztig多項式によって重み付けられる。
• $ ho otin b{C} imes b{Q} imes ext{Im} ho $ のとき、キャラクター公式は $ Q^{ ho}_{w,y}(1) $ とヴェルマ加群のキャラクターで表され、$ w $ が $ wW_0( ho) $ 内の最長元である場合に有効である。
• $ ho otin b{C} imes b{Q} imes ext{Im} ho $ のとき、キャラクター公式は $ w $ が $ wW_0( ho) $ 内の最短元である場合にも成り立ち、$ P^{ ho}_{y,w}(1) $ を用いる。
• $ b{Q} mid ho $ のとき、放物型部分代数 $ rak{p}_J $（$ J eq I $）に制限することで、キャラクター公式は既知の有限次元ケースに還元される。
• 同型 $ U(rak{g}) igotimes_{U(rak{p}_J)} L_J( ho) o L( ho) $ が成り立つため、キャラクター公式が有限次元からアフィンリー代数に正しく転送される。
• 証明は、$ L_J( ho) $ の既約性と、重み空間における非自明な $ rak{n}^+ $-不変量の消失に依存しており、これにより $ L_J( ho) $ に最高ウェイト空間以外の非自明な $ rak{n}^+ $-不変量を持つベクトルが存在しない。