[論文レビュー] CHASSIS - Inverse Modelling of Relaxed Dynamical Systems

Dalia Chakrabarty|ArXiv.org|May 15, 2009

Model Reduction and Neural Networks参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

CHASSIS は、マルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）最適化を用いて、不完全で疎な運動学的データから、緩和された天体的系の位相空間確率密度関数 $f(\mathbf{w})$ と重力ポテンシャル $\Phi(\mathbf{x})$ を非パラメトリックベイズ的手法で推定するアルゴリズムである。同手法は、$f(E)$ における等方性を仮定すると、全質量によって制約されない限り、一貫性のない質量プロファイルが生じ得ることを示しているが、外部からの質量測定値を組み込むことで、多様な位相空間分布に対してもポテンシャルの回復が安定化されることを明らかにした。

ABSTRACT

The state of a non-relativistic gravitational dynamical system is known at any time $t$ if the dynamical rule, i.e. Newton's equations of motion, can be solved; this requires specification of the gravitational potential. The evolution of a bunch of phase space coordinates ${\bf w}$ is deterministic, though generally non-linear. We discuss the novel Bayesian non-parametric algorithm CHASSIS that gives phase space $pdf$ $f({\bf w})$ and potential $Φ({\bf x})$ of a relaxed gravitational system. CHASSIS is undemanding in terms of input requirements in that it is viable given incomplete, single-component velocity information of system members. Here ${\bf x}$ is the 3-D spatial coordinate and ${\bf w}={\bf x+v}$ where ${\bf v}$ is the 3-D velocity vector. CHASSIS works with a 2-integral $f=f(E, L)$ where energy $E=Φ+ v^2/2, \: v^2 = \sum_{i=1}^{3}{v_i^2}$ and the angular momentum is $L = |{\bf r} imes{\bf v}|$, where ${\bf r}$ is the spherical spatial vector. Also, we assume spherical symmetry. CHASSIS obtains the $f(\cdot)$ from which the kinematic data is most likely to have been drawn, in the best choice for $Φ(\cdot)$, using an MCMC optimiser (Metropolis-Hastings). The likelihood function ${\cal{L}}$ is defined in terms of the projections of $f(\cdot)$ into the space of observables and the maximum in ${\cal{L}}$ is sought by the optimiser.

研究の動機と目的

• 不完全で低次元の運動学的データから、緩和された動的系の位相空間分布関数 $f(\mathbf{w})$ と重力ポテンシャル $\Phi(\mathbf{x})$ を推定する、堅牢で非パラメトリックな手法の開発。
• 銀河の動的モデリングにおいて一般的に仮定される位相空間の等方性が、誤った解を生じるリスクに対処すること。
• サンプルサイズの変動に強く、従来のp値の限界を克服する、等方性のベイズ的有意性検定の提供。
• 外部からの全質量制約が、入力データにおける非等方性にもかかわらず、推定された重力ポテンシャルの安定化に寄与するかの調査。
• 異なる銀河成分からの運動学的サンプルが等方性を仮定すると、一貫性のない質量プロファイルをもたらすことが明らかになること、すなわち、標準的な質量決定手法に根本的な不安定性が存在することの解明。

提案手法

• CHASSIS は、球対称性と2積分形式 $f(E,L)$ を仮定して、1次元の視線方向速度データから $f(\mathbf{w})$ と $\Phi(\mathbf{x})$ をベイズ的非パラメトリック枠組みで推定する。
• 尤度 $\mathcal{L}$ を最大化するために、メトロポリス・ハスティングス MCMC アルゴリズムを用い、推定された $f(\cdot)$ を観測可能な位相空間に投影する。
• 等方性仮定は $f = f(E)$ に制限することで実装され、位相空間が1自由度に簡略化される。
• 等方性の証拠を評価するために、完全ベイズ的有意性検定（FBST）を実装し、後方分布の接線集合 $T$ における数値積分により証拠値（ev）を計算する。
• 検定では、帰無仮説 $H_0$ 下で最も尤もらしい等方的構成 $\theta^*$ を特定し、その後、$\theta^*$ よりも尤もらしさが高い構成の事後確率体積を計算する。
• 尤度関数に、$M_0 \approx 4.06 \times 10^{11} M_\odot$ を $R_E \approx 8.7$ kpc 内で測定した全質量制約 $\alpha|M_c(R_E) - M_0|/(2\delta M_0)$ をペナルティ関数として組み込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CHASSIS という非パラメトリックベイズ的手法は、疎で不完全な運動学的データから、重力ポテンシャルと位相空間分布を信頼性高く推定できるか？
• RQ2 同じ銀河の異なる運動学的サンプルを用いる場合、位相空間の等方性仮定に対する推定されたポテンシャルの感度はどの程度か？
• RQ3 非パラメトリック動的モデルにおける等方性の検定に、p値の欠陥を克服するベイズ的有意性検定（FBST）が、p値の代替として堅牢に機能するか？
• RQ4 基準半径内での外部的全質量制約を組み込むことで、異なる入力位相空間分布に対しても回復された重力ポテンシャルが安定化するか？
• RQ5 質量事前分布を用いない場合、特に非等方的形をとるトロイの $f(\cdot)$ を選択することで、推定された $\Phi(\cdot)$ にどの程度の影響が及ぶか？

主な発見

• 2つの異なる銀河的成分からの運動学的データに等方性仮定を適用した場合、CHASSIS は一貫性のない重力ポテンシャルを回復し、同じ銀河が等方的 $f(E)$ で一貫して記述できないこと、すなわち、手法上の不安定性が示された。
• FBST を用いたベイズ的等方性検定は、サンプルサイズに強く依存しない形で、等方性の証拠を的確に定量化でき、p値の落とし穴を回避した。
• 全質量制約がない場合、入力位相空間分布（正規分布、Michie、WD）ごとに、ファイドシャル $\Phi_{\text{test}}(r)$ から顕著に逸脱する質量密度プロファイル $\rho(r)$ が得られ、一貫性が欠けることが判明した。
• 全質量制約 $M_0 \approx 4.06 \times 10^{11} M_\odot$ が $R_E \approx 8.7$ kpc 内で強制された場合、すべての入力 $f(\cdot)$ 形式、非等方的を含めて、推定された $\rho(r)$ プロファイルが収束した。
• 質量制約の導入は、効果的な事前分布として機能し、入力データにおける非等方性の仮定に関係なく、$\Phi(r)$ の一貫した回復を可能にした。
• アルゴリズムは、外部からの質量情報が、CHASSIS における情報のない事前分布を補填し、疎なデータでも頑健な推定を可能にすることを示した。