[論文レビュー] Chebyshev's conjecture and the prime number race

Kevin Ford, Sergeĭ Konyagin|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2019

Analytic Number Theory Research参考文献 35被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、素数の級数に関するチェビシェフの予想を検討し、拡張されたリーマン仮説（ERH）の下で、ディリクレL関数の零点によって形成される有限な障壁のため、大きなxに対して特定の素数の個数の順序付けが成立しないことを証明している。具体的には、特定の相対的素数個数の系列が無限回にわたって発生しないことが示され、L関数の挙動の明示的零点解析によって、比較的素数論における主要な問題が解決された。

ABSTRACT

We survey results about prime number races, that is, results about the relative sizes of prime counting functions $π_{q,a}(x)$, with $q$ fixed and $a$ varying. In particular, we describe recent work by the authors on these problems.

研究の動機と目的

• 算術級数における素数の頻度と順序に関する、長年の比較的素数論の問題を解決すること。
• 大きなxに対して、特定のπ(x,k,l₁), π(x,k,l₂), … の順序付けが無限回にわたって成立しないかどうかを調査すること。
• ディリクレL関数の零点に基づいた、素数個数の分布における有限または無限の障壁の存在を確立すること。
• s > 1/2 でL関数がゼロにならないことの影響が、チェビシェフの予想および素数個数の差の符号変化に与える意味を分析すること。
• ERHの下で、ある自然な素数個数の順序付けが、任意に大きなxに対して成立しないことを示す、リトルウッド型の結果を拡張すること。

提案手法

• 非自明なディリクレL関数L(s,χ)の零点に関する和を用いてπ(x,k,l)を関連付ける明示的公式を用い、特にRe(ρ) > β > 1/2 かつ Im(ρ) > 0 を満たすρに注目する。
• 補題4.1を適用して、Δ(x,k,l₁,l₂)を零点に関する和の実部として表現し、誤差項O(x^β log²x)を伴うことで漸近的解析を可能にする。
• 臨界線の右側に位置するL(s,χ)の孤立した零点を仮定することで、有限な障壁を構築し、大きなxに対して特定のπ(x,k,l)の順序付けが成立しないことを示す。
• クロネッカーの定理と零点の虚部のQ上での線形独立性を用いて、零点がQ上線形独立であれば、φ(k)! 個すべての順序付けが実現可能であることを示す。
• k=5でr=4人のプレイヤーが素数の級数に参加する場合を分析し、L(s,χ₁)がσ>1/2かつtが大きいσ+itの形の単一の零点を持つならば、π(x,5,1)>π(x,5,4)>π(x,5,2)>π(x,5,3)という順序付けは大きなxに対して成立しないことを証明する。
• 異なる特性のL関数に複数の零点が臨界線の右側に存在する場合を想定し、r=3の場合に一般化して、適切な零点分布の仮定のもとで、三重順序付けが障壁によって遮断されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張されたリーマン仮説の下で、任意に大きなxに対して、π(x,k,l₁)>π(x,k,l₂)>…>π(x,k,l_r)という順序付けが成立しないことはあり得るか？
• RQ2 ディリクレL関数の有限または無限個の零点が、特定の素数個数の順序付けが無限回にわたって成立しないように障壁を形成するか？
• RQ3 正の上密度を持つxの集合において、π(x,k,l₁) ≥ π(x,k,l₂) となる性質を遮断する障壁を構築することは可能か？
• RQ4 二つの剰余類が同時に平均以上に優位になる状況を遮断する障壁を構築することは可能か？
• RQ5 ある剰余類が大きなxに対して常にリーダーまたは常にローラーであるという出来事が遮断されるような障壁は存在するか？

主な発見

• k=5でl₁=1, l₂=4, l₃=2, l₄=3の場合、L(s,χ₁)がσ>1/2かつtが大きいσ+itの形の単一の零点を持つならば、π(x,5,1)>π(x,5,4)>π(x,5,2)>π(x,5,3)という順序付けは大きなxに対して成立しない。
• 差Δ(x,k,l₁,l₂)は、あるC>0に対して−C x^σ / (t log x) で上から有界であるため、その順序付けが漸近的に成立しないことが示される。
• L関数の零点の虚部がQ上線形独立であるならば、ERHの下でも、φ(k)! 個すべてのπ(x,k,l)の順序付けが、無限に多くのxに対して実現可能である。
• 多くのk, l₁, l₂に対して、ERHの仮定のもとで、最初の符号変化や平均優位性の性質を遮断する障壁を構築可能である。
• r=3の場合、複数の異なる特性のL関数に零点が臨界線の右側に存在し、虚部がQ上線形独立であると仮定すれば、三重順序付けを遮断する障壁が存在する。
• 本論文は、ERHのもとで、σ>1/2かつtが大きい単一の零点が存在するだけで、他のすべてのL関数が臨界帯内でゼロフリーであっても、特定の順序付けが成立しないことを示している。