[論文レビュー] Checkable Codes from Group Rings

Somphong Jitman, San Ling+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、有限体上の群環から導かれる「検査可能コード」を導入し、1つの検査要素によって一般化された巡回コードを特徴づける。有限アーベル群環 FG がコード検査可能であるための必要十分条件を確立し、グレイスルの表の下限を上回る最小距離を持つ新しいコードの構成を可能にする。2つのこのようなコードと2つの短縮コードが、これに該当する。また、生成多項式およびパリティーチェック多項式の概念を多次元設定に一般化する。

ABSTRACT

We study codes with a single check element derived from group rings, namely, checkable codes. The notion of a code-checkable group ring is introduced. Necessary and sufficient conditions for a group ring to be code-checkable are given in the case where the group is a finite abelian group and the ring is a finite field. This characterization leads to many good examples, among which two checkable codes and two shortened codes have minimum distance better than the lower bound given in Grassl's online table. Furthermore, when a group ring is code-checkable, it is shown that every code in such a group ring admits a generator, and that its dual is also generated by an element which may be deduced directly from a check element of the original code. These are analogous to the generator and parity-check polynomials of cyclic codes. In addition, the structures of reversible and complementary dual checkable codes are established as generalizations of reversible and complementary dual cyclic codes.

研究の動機と目的

• 有限体上の群環で、すべての非自明なイデアルが1つの検査要素によって検査可能な「コード検査可能」群環を定義し、その特徴づけを行うこと。
• 有限アーベル群環 FG がコード検査可能であるための必要十分条件を特定すること。
• グレイスルのオンラインテーブルにおける下限を上回る最小距離を持つ新しい線形コードを構成すること。
• 巡回コードの双対性構造を一般化し、検査可能なコードの双対がその検査要素の変換によって生成されることを示すこと。
• 可逆および補完双対検査可能コードの理論を拡張し、それらの巡回コードの類似物の性質を一般化すること。

提案手法

• すべての非自明なイデアルが、C = {y ∈ FG | yv = 0} で定義される1つの検査要素 v によって検査可能なコードである群環である「コード検査可能群環」の概念を導入すること。
• 有限アーベル群 G に対して FG ≅ F[X₁,…,Xₜ]/⟨X₁ⁿ¹−1,…,Xₜⁿᵗ−1⟩ の同型を用い、要素を多変数多項式として扱うこと。
• Sylow p-部分群および FG 内のゼロ因子の構造を用いて、コード検査可能性を特徴づけること。特に F が有限体の場合に焦点を当てる。
• v = ∑₉∈G v_g g に対して v⁽⁻¹⁾ = ∑₉∈G v_g⁻¹ g を定義し、これが双対コード FGv⁽⁻¹⁾ を生成することを示すこと。
• 特徴づけを応用して、F₅ および F₃ 上の明示的な検査可能コード（短縮コードを含む）を構成すること。
• 可逆および補完双対検査可能コードを、巡回コードからの構造的性質の拡張によって分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 F 上の有限アーベル群環 FG が、すべての非自明なイデアルが1つの要素によって検査可能である、つまりコード検査可能であるための条件は何か？
• RQ2 群環からの検査可能コードは、グレイスルの表における下限を上回る最小距離を持つ新しい線形コードを生成できるか？
• RQ3 検査可能なコードの双対は、その検査要素を用いてどのように記述できるか？これは、巡回コードのパリティーチェック多項式の一般化である。
• RQ4 可逆および補完双対検査可能コードの構造的性質は何か？それらは巡回コードの既知の結果をどのように一般化するか？
• RQ5 形式 [n,1,n] および [n,n−1,2] の MDS コードは、FG 内で検査可能コードとして実現可能か？

主な発見

• F₅ 上の2つの新しい検査可能コード、[36,28,6] および [72,62,6] のパラメータを持つもので、グレイスルの表における下限を上回る最小距離を達成している。
• [72,62,6] コードから導かれる2つの短縮コードは、[36,28,6] および [72,62,6] のパラメータを持ち、グレイスルの表における下限を上回る最小距離を達成している。
• コード検査可能群環 FG 内の任意の検査可能コードの双対は、v⁽⁻¹⁾ によって生成され、これは巡回コードの双対性を一般化する。
• コード検査可能群環 FG 内のすべてのゼロ因子コードは、ある v ∈ FG に対して {y ∈ FG | yv = 0} の形であり、その双対は FGv⁽⁻¹⁾ である。
• 検査可能コードのクラスには、[n,1,n] および [n,n−1,2] の MDS コードが含まれており、これらは FG 内で検査可能コードとして実現可能である。
• 可逆および補完双対検査可能コードの構造は完全に特徴づけられており、巡回コードの既知の結果を一般化している。